La dérivée mesure la vitesse à laquelle une fonction varie : c'est la pente de la tangente à sa courbe, ou la vitesse instantanée d'un mobile dont on connaît la position.
Définition 1 (Nombre dérivé et tangente). Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$. Cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$.
La tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$.
Exemple 2 (La dérivée de x²). Pour $f(x) = x^2$ : $$\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \xrightarrow[h \to 0]{} 2a,$$ donc $f'(a) = 2a$.
Proposition 3 (Dérivées usuelles et opérations). Pour tout entier $n \ge 1$, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$. Si $u$ et $v$ sont dérivables et $k$ est un réel : $$(u + v)' = u' + v', \qquad (k\,u)' = k\,u', \qquad (u\,v)' = u'\,v + u\,v'.$$
Preuve (cas du produit)
On écrit $$\frac{u(a+h)\,v(a+h) - u(a)\,v(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\, v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.$$ Comme $v$ est dérivable en $a$, elle y est continue : $v(a+h) \to v(a)$. La limite vaut donc $u'(a)\,v(a) + u(a)\,v'(a)$.
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Sens de variation
Théorème 4 (Signe de la dérivée et variations). Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Si $f' \ge 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$. Si $f' \le 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
Preuve (idée)
Le théorème des accroissements finis, vu en première année d'université, donne pour $x < y$ dans $I$ un réel $c$ entre $x$ et $y$ tel que $f(y) - f(x) = f'(c)\,(y - x)$. Cette différence a donc le signe de $f'(c)$.
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Exemple 5 (La voiture qui freine). La position d'une voiture qui freine est $x(t) = 20t - 2t^2$ (en mètres, $t$ en secondes). Sa vitesse est $x'(t) = 20 - 4t$ : positive pour $t < 5$, nulle en $t = 5$. La voiture avance puis s'arrête à $x(5) = 50$ m. C'est la mission « Le virage » du Rallye du fleuve.
Vérifie ta compréhension. Sur quel intervalle la fonction $f(x) = x^3 - 3x$ est-elle décroissante ?
$[-1, 1]$
$[0, +\infty[$
Sur $\R$ tout entier
Réponse
Bonne réponse : A.
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ est négative ou nulle exactement sur $[-1, 1]$.
Exercice 6 (L'enclos le plus grand). Avec 40 m de grillage, on clôture un enclos rectangulaire. Quelle largeur $x$ donne l'aire la plus grande ?
Indice
Le demi-périmètre vaut 20 m, donc la longueur est $20 - x$ et l'aire $A(x) = x\,(20 - x)$. Étudie le signe de $A'$ sur $[0, 20]$.
Solution
$A'(x) = 20 - 2x$ est positive pour $x < 10$ et négative pour $x > 10$ : l'aire croît puis décroît. Elle est maximale pour $x = 10$ m : l'enclos est un carré de $100$ m².
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Dérivées de polynômes). Calculer la dérivée de $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ et de $g(x) = 2x^3 - x^2 + 7x$ sur $\R$.
Indice
Utilise $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ et la linéarité de la dérivation.
Solution
$f'(x) = 6x - 5$ et $g'(x) = 6x^2 - 2x + 7$. Les constantes ont une dérivée nulle.
Exercice 2 (Une équation de tangente). Soit $f(x) = x^2 - 3x$. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.
Indice
La tangente en $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Solution
$f(1) = -2$ et $f'(x) = 2x - 3$, donc $f'(1) = -1$. La tangente a pour équation $y = -(x - 1) - 2$, soit $y = -x - 1$.
Exercice 3 (Le sommet d’une parabole). Étudier les variations de $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ sur $\R$ et donner son maximum.
Indice
Étudie le signe de $f'(x)$.
Solution
$f'(x) = -4x + 8$, positive pour $x < 2$ et négative pour $x > 2$. La fonction croît sur $]-\infty, 2]$ puis décroît sur $[2, +\infty[$. Son maximum vaut $f(2) = -8 + 16 - 3 = 5$.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Produit et quotient). Calculer la dérivée de $f(x) = (x^2 + 1)(2x - 3)$ sur $\R$, puis celle de $g(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 2}$ sur $]-2, +\infty[$.
Indice
$(uv)' = u'v + uv'$ et, si $v$ ne s'annule pas, $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Exercice 2 (Une cubique et ses racines). Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Dresser le tableau de variations de $f$, puis déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$.
Indice
Factorise $f'(x)$, calcule $f(-1)$ et $f(1)$, puis regarde les signes aux bornes de chaque intervalle de monotonie.
Solution
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. La fonction croît sur $]-\infty, -1]$, décroît sur $[-1, 1]$ et croît sur $[1, +\infty[$, avec $f(-1) = 3$ et $f(1) = -1$. Comme $f(-2) = -1 < 0$, $f(2) = 3 > 0$ et que $f$ est strictement monotone sur chaque intervalle, l'équation a exactement une solution dans $]-2, -1[$, une dans $]-1, 1[$ et une dans $]1, 2[$ : trois solutions.
Exercice 3 (La boîte sans couvercle). Dans une feuille carrée de $30$ cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ?
Indice
Le volume vaut $V(x) = x(30 - 2x)^2$ pour $0 < x < 15$. Factorise $V'(x)$.
Solution
$V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x)$. Sur $]0, 15[$, le premier facteur est positif, donc $V'$ a le signe de $30 - 6x$ : positif avant $5$, négatif après. Le volume est maximal pour $x = 5$ cm et vaut $V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000$ cm³.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Une inégalité par l’étude d’une fonction). Montrer que pour tout réel $x > 0$, $x + \dfrac1x \ge 2$, et préciser le cas d'égalité.
Indice
Étudie $f(x) = x + \dfrac1x$ sur $]0, +\infty[$ ; on rappelle que $\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$.
Solution
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$ est négative sur $]0, 1[$ et positive sur $]1, +\infty[$. Le minimum de $f$ vaut $f(1) = 2$, donc $x + \dfrac1x \ge 2$, avec égalité seulement pour $x = 1$. Autre preuve : $x + \dfrac1x - 2 = \dfrac{(x - 1)^2}{x} \ge 0$.
Exercice 2 (Des tangentes issues d’un point). Déterminer les tangentes à la parabole d'équation $y = x^2$ qui passent par le point $(1, -3)$.
Indice
La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = 2a\,x - a^2$. Écris qu'elle passe par $(1, -3)$.
Solution
La condition donne $-3 = 2a - a^2$, soit $a^2 - 2a - 3 = 0$, d'où $a = 3$ ou $a = -1$. Les deux tangentes sont $y = 6x - 9$ (en $a = 3$) et $y = -2x - 1$ (en $a = -1$). On vérifie que $6 - 9 = -3$ et $-2 - 1 = -3$.
Exercice 3 (La canette la plus économe). Une canette cylindrique doit contenir $V = 330$ cm³. Quel rayon $r$ minimise la surface de métal $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ ? Comparer alors la hauteur et le diamètre.
Indice
Annule $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{2V}{r^2}$, puis utilise $V = \pi r^2 h$.
Solution
$S'(r) = 0$ équivaut à $r^3 = \dfrac{V}{2\pi}$, donc $r = \left(\dfrac{330}{2\pi}\right)^{1/3} \simeq 3{,}74$ cm. $S'$ est négative avant cette valeur et positive après : c'est un minimum. La hauteur vaut $h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \simeq 7{,}49$ cm : la canette optimale est aussi haute que large. Les vraies canettes sont plus hautes, pour d'autres raisons (prise en main, empilement).
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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