Une équation différentielle ordinaire relie une fonction inconnue $y$ d'une variable $t$ à ses dérivées. Elle décrit toute grandeur dont la vitesse de variation dépend de son état : température, population, position d'un mobile.
Définition 1 (Problème de Cauchy). Soit $f : I \times \R^n \to \R^n$ continue et $(t_0, y_0) \in I \times \R^n$. Le problème de Cauchy consiste à trouver $y$ dérivable telle que $$\begin{cases} y'(t) = f\big(t, y(t)\big), \\ y(t_0) = y_0. \end{cases}$$
Théorème 2 (Cauchy–Lipschitz). Si $f$ est continue et localement lipschitzienne par rapport à $y$, le problème de Cauchy admet une unique solution maximale.
Preuve
On réécrit le problème sous forme intégrale : $y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f\big(s, y(s)\big) \, ds$. L'opérateur $$\Phi(y)(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f\big(s, y(s)\big) \, ds$$ vérifie $\|\Phi(y) - \Phi(z)\|_\infty \le L \delta \, \|y - z\|_\infty$ sur $C([t_0 - \delta, t_0 + \delta])$ si $f$ est $L$-lipschitzienne. Pour $\delta < 1/L$, il est contractant : le théorème du point fixe de Banach donne existence et unicité locales. On recolle ensuite les solutions locales en une solution maximale.
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Vérifie ta compréhension. Le problème $y' = 2\sqrt{|y|}$, $y(0) = 0$ admet-il une unique solution ?
Oui, par Cauchy–Lipschitz
Non : $y = 0$ convient, et aussi $y(t) = t^2$ pour $t \ge 0$ (prolongée par $0$)
Non : il n'a aucune solution
Réponse
Bonne réponse : B.
$y \mapsto 2\sqrt{|y|}$ n'est pas lipschitzienne au voisinage de $0$ : l'hypothèse du théorème tombe, et l'unicité avec.
Équations linéaires
Exemple 3 (Loi de refroidissement de Newton). Pour $T' = -k\,(T - T_a)$, on pose $\theta = T - T_a$ : alors $\theta' = -k\theta$, donc $$T(t) = T_a + \big(T(0) - T_a\big)\, e^{-kt}.$$ C'est l'équation de la mission « Le réacteur qui refroidit ».
Exercice 4 (Équation à second membre constant). Résoudre $y' + 2y = 4$ avec $y(0) = 0$.
Indice
Cherche une solution constante, puis ajoute les solutions de l'équation homogène $y' + 2y = 0$.
Solution
La constante $y = 2$ est solution ; l'équation homogène donne $C e^{-2t}$. Avec $y(0) = 0$ : $y(t) = 2\,(1 - e^{-2t})$.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Une croissance exponentielle). Résoudre le problème de Cauchy $y' = 3y$, $y(0) = 2$.
Indice
Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $t \mapsto C e^{at}$.
Solution
Les solutions sont $y(t) = C e^{3t}$ et la condition $y(0) = 2$ donne $C = 2$ : $y(t) = 2e^{3t}$, définie sur $\R$. Par Cauchy–Lipschitz, c'est l'unique solution.
Exercice 2 (Un second membre constant). Résoudre $y' - y = 5$ avec $y(0) = 1$.
Indice
Cherche une solution constante, puis ajoute les solutions de l'équation homogène.
Solution
La constante $y = -5$ est solution particulière. Les solutions homogènes sont $C e^t$, donc $y(t) = -5 + C e^t$. La condition initiale donne $C = 6$ : $y(t) = 6e^t - 5$.
Exercice 3 (Vérifier une solution). Vérifier que $y(t) = \dfrac{1}{1 + t}$ est solution de $y' = -y^2$, $y(0) = 1$. Sur quel intervalle maximal est-elle définie ?
Indice
Dérive $y$ et compare avec $-y^2$.
Solution
$y'(t) = -\dfrac{1}{(1 + t)^2} = -y(t)^2$ et $y(0) = 1$. La solution est définie sur $]-1, +\infty[$ : quand $t \to -1^+$, $y(t) \to +\infty$, elle ne se prolonge pas. Comme $f(y) = -y^2$ est localement lipschitzienne, c'est l'unique solution maximale.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Variation de la constante). Résoudre $y' + y = t$ avec $y(0) = 0$.
Indice
Cherche une solution particulière affine $y = at + b$.
Solution
Avec $y = at + b$ : $a + at + b = t$, donc $a = 1$ et $b = -1$. Les solutions sont $y(t) = t - 1 + C e^{-t}$, et $y(0) = 0$ donne $C = 1$ : $y(t) = t - 1 + e^{-t}$. Vérification : $y' + y = 1 - e^{-t} + t - 1 + e^{-t} = t$.
Exercice 2 (Une équation du second ordre). Résoudre $y'' - 3y' + 2y = 0$ avec $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$.
Indice
L'équation caractéristique est $r^2 - 3r + 2 = 0$.
Solution
Les racines sont $1$ et $2$, donc $y(t) = A e^t + B e^{2t}$. Les conditions donnent $A + B = 1$ et $A + 2B = 0$, d'où $B = -1$ et $A = 2$ : $y(t) = 2e^t - e^{2t}$.
Exercice 3 (Une explosion en temps fini). Résoudre $y' = y^2$, $y(0) = 1$. Pourquoi le théorème de Cauchy–Lipschitz ne garantit-il pas une solution définie sur tout $\R$ ?
Indice
Sépare les variables : $\dfrac{y'}{y^2} = 1$.
Solution
Tant que $y \neq 0$, $\left(-\dfrac1y\right)' = 1$, donc $-\dfrac{1}{y(t)} = t - 1$ et $y(t) = \dfrac{1}{1 - t}$, définie sur $]-\infty, 1[$. Elle tend vers $+\infty$ en $1^-$ : la solution explose en temps fini. Cauchy–Lipschitz donne l'existence locale et l'unicité ; la fonction $y \mapsto y^2$ n'est pas globalement lipschitzienne, et rien n'empêche la solution de sortir de tout compact.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Quand l’unicité tombe). Montrer que le problème $y' = 2\sqrt{|y|}$, $y(0) = 0$, possède au moins deux solutions sur $\R$. Quelle hypothèse de Cauchy–Lipschitz est en défaut ?
Indice
Essaie la fonction nulle, puis $y(t) = t^2$ pour $t \ge 0$ et $y(t) = 0$ pour $t < 0$.
Solution
La fonction nulle convient. La seconde fonction est dérivable, avec $y'(t) = 2t = 2\sqrt{t^2}$ pour $t \ge 0$ et $y' = 0$ pour $t < 0$ : elle convient aussi. La fonction $y \mapsto 2\sqrt{|y|}$ n'est pas lipschitzienne au voisinage de $0$, car $\dfrac{2\sqrt{|y|}}{|y|} \to +\infty$ quand $y \to 0$ : c'est l'hypothèse qui manque.
Exercice 2 (Le lemme de Grönwall). Soit $u$ dérivable sur $[0, T]$ avec $u' \le a\,u$, où $a$ est une constante. Montrer que $u(t) \le u(0)\,e^{at}$. En déduire l'unicité de la solution de $y' = f(y)$, $y(0) = y_0$, quand $f$ est $L$-lipschitzienne.
Indice
Étudie $(u\,e^{-at})'$. Pour l'unicité, applique le résultat à $u = (y_1 - y_2)^2$.
Solution
$(u\,e^{-at})' = (u' - au)\,e^{-at} \le 0$, donc $u(t)\,e^{-at} \le u(0)$. Pour deux solutions $y_1$ et $y_2$, $u = (y_1 - y_2)^2$ vérifie $u' = 2(y_1 - y_2)(f(y_1) - f(y_2)) \le 2L\,u$. Ainsi $u(t) \le u(0)\,e^{2Lt} = 0$ pour $t \ge 0$ : les deux solutions coïncident. Le même raisonnement en temps rétrograde traite $t \le 0$.
Exercice 3 (L’oscillateur amorti). Résoudre $y'' + 2y' + 5y = 0$ avec $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$, puis décrire le comportement de la solution quand $t \to +\infty$.
Indice
Les racines de $r^2 + 2r + 5 = 0$ sont complexes conjuguées.
Solution
Les racines sont $-1 \pm 2i$, donc $y(t) = e^{-t}(A\cos 2t + B\sin 2t)$. $y(0) = 1$ donne $A = 1$ ; $y'(0) = -A + 2B = 0$ donne $B = \dfrac12$. Ainsi $y(t) = e^{-t}\left(\cos 2t + \frac12 \sin 2t\right)$. La solution oscille avec une amplitude majorée par $\dfrac{\sqrt5}{2}e^{-t}$ : elle tend vers $0$, c'est un régime pseudo-périodique amorti.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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