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Développements limités au voisinage de 0
Définition 1 (Reste négligeable et développement limité). La notation $r(x)=o(x^n)$ quand $x\to0$ signifie $\frac{r(x)}{x^n}\to0$ pour $x\ne0$. Dire que $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ en $0$ signifie qu'il existe des réels $a_0,\ldots,a_n$ tels que $$ f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n). $$ Le reste n'est pas nécessairement nul : il devient négligeable devant $x^n$. L'ordre doit être choisi assez grand pour dépasser les annulations dans le calcul visé.
Théorème 2 (Taylor–Young et développements usuels). Si $f$ est de classe $C^n$ dans un voisinage de $0$, alors $$ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n). $$ En particulier, quand $x\to0$, $$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3), $$ $$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3), $$ $$ \sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2). $$ Pour le logarithme, on travaille dans un voisinage de $0$ contenu dans $]-1,+\infty[$.
Exemple 3 (Lever une indétermination). Dans $\frac{e^x-1-x}{x^2}$, remplacer seulement $e^x$ par $1+x+o(x)$ ne suffit pas. Le développement d'ordre $2$ donne $$ \frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{x^2/2+o(x^2)}{x^2}=\frac12+o(1). $$ La limite vaut donc $\frac12$.
Exercice 4 (Une limite après trois annulations). Calculer $$ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}. $$
Indice
Développe $\ln(1+x)$ à l'ordre $3$, puis garde explicitement le reste $o(x^3)$.
Solution
Pour $x$ proche de $0$, $1+x>0$ et $$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3). $$ Les termes d'ordre $1$ et $2$ s'annulent dans le numérateur. Pour $x\ne0$, $$ \frac{\ln(1+x)-x+x^2/2}{x^3}=\frac13+\frac{o(x^3)}{x^3}. $$ Par définition du petit $o$, le dernier quotient tend vers $0$. La limite cherchée est $\boxed{\frac13}$, des deux côtés de $0$.
Équivalents et limites de puissances
Définition 5 (Équivalence). On écrit $f(x)\sim g(x)$ au voisinage d'un point si $g$ ne s'y annule pas, sauf éventuellement au point lui-même, et $f(x)/g(x)\to1$. Par exemple, $\ln(1+x)\sim x$ et $1-\cos x\sim x^2/2$ en $0$.
Les équivalents se multiplient et se divisent lorsque les quotients sont définis. On ne peut pas les soustraire sans étudier les restes : bien que $1+x\sim1$, la différence $(1+x)-1=x$ n'est pas identiquement nulle.
Proposition 6 (Passer par le logarithme). Pour une suite $a_n>0$ et une suite réelle $b_n$, on définit $a_n^{b_n}=\exp(b_n\ln a_n)$. Si $b_n\ln a_n\to\ell\in\R$, alors $a_n^{b_n}\to e^\ell$ par continuité de l'exponentielle. C'est la méthode adaptée aux formes indéterminées de type $1^{\infty}$.
Exemple 7 (Retrouver une limite classique). Pour $u_n=(1+1/n)^n$, $\ln u_n=n\ln(1+1/n)$. Comme $\ln(1+t)=t+o(t)$, $$ \ln u_n=n\left(\frac1n+o\left(\frac1n\right)\right)=1+o(1). $$ Par conséquent $u_n\to e$. L'étape logarithmique tient compte à la fois de la base qui tend vers $1$ et de l'exposant qui tend vers l'infini.
Exercice 8 (Une puissance de cosinus). Pour $n\ge1$, soit $u_n=\big(\cos(1/n)\big)^{n^2}$. Justifier que $u_n$ est strictement positif et calculer sa limite.
Indice
Utilise $\cos t=1-t^2/2+o(t^2)$, puis $\ln(1+s)=s+o(s)$ pour obtenir un développement de $\ln(\cos t)$.
Solution
Pour $n\ge1$, $0<1/n\le1<\pi/2$, donc $\cos(1/n)>0$ et le logarithme de $u_n$ est défini. Posons $s(t)=\cos t-1=-t^2/2+o(t^2)$. Alors $s(t)\to0$ et $$ \ln(\cos t)=\ln(1+s(t))=s(t)+o(s(t))=-\frac{t^2}{2}+o(t^2). $$ La dernière égalité est valide car $s(t)/t^2\to-1/2$, donc un reste négligeable devant $s(t)$ l'est devant $t^2$. Avec $t=1/n$, $$ \ln u_n=n^2\ln(\cos(1/n))=n^2\left(-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)\right)\longrightarrow-\frac12. $$ En exponentiant, $\boxed{u_n\to e^{-1/2}}$.
Intégrale de Riemann et limites de sommes
Définition 9 (Sommes de Riemann). Pour une fonction $f$ sur $[a,b]$, une somme de Riemann associe à chaque sous-intervalle d'une subdivision sa longueur multipliée par une valeur de $f$ dans ce sous-intervalle. Pour la subdivision régulière à $n$ intervalles et les extrémités droites, elle vaut $$ S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right). $$ Une fonction bornée est Riemann-intégrable si toutes ses sommes de Riemann tendent vers une même limite lorsque la plus grande longueur des sous-intervalles tend vers $0$. Cette limite est son intégrale.
Théorème 10 (Continuité et convergence des sommes). Toute fonction continue sur le segment $[a,b]$ est Riemann-intégrable. En particulier, $$ \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\longrightarrow\int_a^b f(t)\,dt. $$ Pour reconnaître cette forme dans une somme, il faut faire apparaître le pas $(b-a)/n$ et une fonction fixe, indépendante de $n$, évaluée aux points de la subdivision.
Exemple 11 (Calcul intégral avec un logarithme). L'intégration par parties avec $u=\ln(1+t)$ et $dv=dt$ donne $$ \int_0^1\ln(1+t)\,dt=\left[t\ln(1+t)\right]_0^1-\int_0^1\frac{t}{1+t}\,dt. $$ Comme $t/(1+t)=1-1/(1+t)$, la seconde intégrale vaut $1-\ln2$. Le résultat est donc $2\ln2-1$.
Exercice 12 (Transformer une somme en intégrale). Calculer la limite de $$ S_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n+k}. $$
Indice
Réécris $k/(n+k)$ sous la forme $(k/n)/(1+k/n)$. La fonction à intégrer sur $[0,1]$ est alors $f(t)=t/(1+t)$.
Solution
On a exactement $$ S_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{k/n}{1+k/n}=\frac1n\sum_{k=1}^{n}f(k/n),\qquad f(t)=\frac{t}{1+t}. $$ La fonction $f$ est continue sur $[0,1]$ puisque son dénominateur y est strictement positif. Le théorème des sommes de Riemann donne donc $$ \lim_{n\to\infty}S_n=\int_0^1\frac{t}{1+t}\,dt=\int_0^1\left(1-\frac1{1+t}\right)dt=\left[t-\ln(1+t)\right]_0^1=\boxed{1-\ln2}. $$ Le résultat est positif, conformément à la positivité de tous les termes de la somme.
Vérifie ta compréhension. Quel est un équivalent de $\ln(1+x)-x$ quand $x\to0$ ?
- $-\frac{x^2}{2}$
- $x$
- $\frac{x^3}{3}$
Réponse
Bonne réponse : A.
Le développement limité donne $\ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)$. Le quotient par $-x^2/2$ tend donc vers $1$. L'équivalent $\ln(1+x)\sim x$ ne suffit pas pour traiter leur différence.