On choisit une orientation pour chaque courant et chaque tension avant d'écrire les équations. Un résultat négatif indique que le sens réel est opposé au sens choisi.
Définition 1 (Loi d’Ohm et lois de Kirchhoff). Avec la convention récepteur, une résistance vérifie $U=RI$ et dissipe la puissance $P=UI=RI^2$. Les intensités entrantes et sortantes d'un nœud se compensent. Dans une maille, la somme algébrique des tensions est nulle. Les résistances en série s'ajoutent ; en parallèle, leurs inverses s'ajoutent.
Exercice 2 (Deux résistances, deux montages). Une source idéale de $12$ V alimente deux résistances de $100\ \Omega$ et $200\ \Omega$. Calculer la résistance équivalente et le courant fourni en série, puis en parallèle. Vérifier la puissance totale du montage parallèle.
Indice
En série le courant est commun ; en parallèle la tension est commune.
Solution
En série, $R_{\rm eq}=100+200=300\ \Omega$, donc $I=12/300=0{,}04$ A. Les tensions sont $4$ V et $8$ V, de somme $12$ V. En parallèle, $1/R_{\rm eq}=1/100+1/200=3/200$, donc $R_{\rm eq}=200/3\ \Omega$. Les courants de branche valent $0{,}12$ A et $0{,}06$ A : le courant total est $0{,}18$ A. La puissance totale vaut $12\times0{,}18=2{,}16$ W, égale à $12^2/100+12^2/200$.
Charge d’un condensateur
Définition 3 (Condensateur idéal). Un condensateur de capacité $C$ vérifie $q=Cu_C$ et, avec des orientations cohérentes, $i=C\,du_C/dt$. Dans un circuit série RC soumis à une tension constante $E$, la loi des mailles donne $RC\,u_C'+u_C=E$. Pour un condensateur initialement déchargé, $u_C(t)=E(1-e^{-t/(RC)})$. La constante de temps $\tau=RC$ s'exprime en secondes.
Exercice 4 (Lire une constante de temps). Dans un circuit de charge, $R=10$ k$\Omega$, $C=100\ \mu$F et $E=5$ V. Le condensateur est initialement déchargé. Calculer $\tau$, $u_C(\tau)$, le courant initial et le temps nécessaire pour atteindre $90\,\%$ de $E$.
Indice
Convertis $R$ et $C$ en unités SI. Pour le dernier calcul, résous $1-e^{-t/\tau}=0{,}9$.
Solution
$R=10^4\ \Omega$ et $C=10^{-4}$ F, donc $\tau=1$ s. Ainsi $u_C(\tau)=5(1-e^{-1})\simeq3{,}16$ V. Au départ $u_C=0$, donc $i(0)=E/R=5\times10^{-4}$ A, soit $0{,}5$ mA. L'équation $e^{-t/\tau}=0{,}1$ donne $t=\tau\ln10\simeq2{,}30$ s. La tension tend vers $5$ V, sans l'atteindre à un temps fini dans ce modèle idéal.
Vérifie ta compréhension. Deux résistances identiques $R$ sont montées en parallèle. Leur résistance équivalente vaut…
$2R$
$R/2$
$R^2$
Réponse
Bonne réponse : B.
$1/R_{\rm eq}=1/R+1/R=2/R$, donc $R_{\rm eq}=R/2$.
Remarque 5 (Repères du parcours L1). Les modules transversaux regroupent plusieurs UE ; les durées proposées sont des repères de travail personnel.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (La loi d’Ohm). Une résistance de $220\ \Omega$ est soumise à une tension de $11$ V. Calculer l'intensité du courant et la puissance dissipée.
Indice
$U=RI$ et $P=UI$.
Solution
$I=\dfrac{11}{220}=0{,}05$ A $=50$ mA, et $P=11\times0{,}05=0{,}55$ W.
Exercice 2 (Série ou parallèle). Calculer la résistance équivalente de deux résistances de $30\ \Omega$ et $60\ \Omega$ montées en série, puis en parallèle.
Indice
En parallèle, $\dfrac{1}{R_{\text{éq}}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$.
Solution
En série : $90\ \Omega$. En parallèle : $\dfrac{30\times60}{30+60}=20\ \Omega$, plus petit que chacune des deux résistances.
Exercice 3 (Charge et courant). Un courant constant de $2$ mA circule pendant $5$ minutes. Quelle charge a traversé le circuit ?
Indice
$Q=I\,\Delta t$, avec $\Delta t$ en secondes.
Solution
$Q=0{,}002\times300=0{,}6$ C, soit environ $3{,}7\times10^{18}$ électrons.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Un pont diviseur chargé). Une source de $9$ V alimente $R_1=1$ k$\Omega$ en série avec $R_2=2$ k$\Omega$. Calculer la tension aux bornes de $R_2$. On branche ensuite une charge $R_L=2$ k$\Omega$ en parallèle sur $R_2$ : que devient cette tension ?
Indice
$U_2=E\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$ à vide ; avec la charge, remplace $R_2$ par $R_2\parallel R_L$.
Solution
À vide, $U_2=9\times\dfrac23=6$ V. Avec la charge, $R_2\parallel R_L=1$ k$\Omega$, donc $U_2=9\times\dfrac12=4{,}5$ V. Un diviseur de tension n'est fiable que si la charge est grande devant ses résistances.
Exercice 2 (Mailles et nœuds). Une source idéale de $12$ V alimente $R_1=4\ \Omega$ en série avec l'association en parallèle de $R_2=6\ \Omega$ et $R_3=12\ \Omega$. Calculer le courant principal et les courants dans $R_2$ et $R_3$.
Indice
Calcule d'abord $R_2\parallel R_3$, puis la tension aux bornes de cette association.
Solution
$R_2\parallel R_3=4\ \Omega$, donc la résistance totale vaut $8\ \Omega$ et $I=1{,}5$ A. La tension aux bornes du groupement parallèle vaut $4\times1{,}5=6$ V, d'où $I_2=1$ A et $I_3=0{,}5$ A. La loi des nœuds se vérifie : $1+0{,}5=1{,}5$ A.
Exercice 3 (L’énergie d’un condensateur). Un condensateur de $470\ \mu$F est chargé sous $10$ V. Calculer sa charge et l'énergie stockée.
Indice
$Q=CU$ et $E=\dfrac12CU^2$.
Solution
$Q=470\times10^{-6}\times10=4{,}7\times10^{-3}$ C et $E=\dfrac12\times470\times10^{-6}\times100=0{,}0235$ J. L'énergie croît comme le carré de la tension.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Une décharge à mi-hauteur). Un condensateur chargé sous $U_0$ se décharge dans une résistance : $u(t)=U_0e^{-t/\tau}$ avec $\tau=RC$. Au bout de combien de temps la tension est-elle divisée par deux ? Application : $R=10$ k$\Omega$ et $C=100\ \mu$F.
Indice
Résous $e^{-t/\tau}=\dfrac12$.
Solution
$t_{1/2}=\tau\ln2$. Ici $\tau=10^4\times10^{-4}=1$ s, donc $t_{1/2}\simeq0{,}69$ s. Ce temps ne dépend pas de $U_0$ : la tension perd la moitié de sa valeur toutes les $0{,}69$ s.
Exercice 2 (L’équation de charge). Un condensateur initialement déchargé est relié à une source $E$ à travers $R$. Établir $RC\dfrac{du}{dt}+u=E$, la résoudre, puis déterminer la durée nécessaire pour atteindre $99\,\%$ de $E$.
Indice
La loi des mailles donne $E=Ri+u$, avec $i=C\dfrac{du}{dt}$.
Solution
La loi des mailles donne directement l'équation. Sa solution avec $u(0)=0$ est $u(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, avec $\tau=RC$. $u=0{,}99E$ lorsque $e^{-t/\tau}=0{,}01$, soit $t=\tau\ln100\simeq4{,}6\,\tau$. D'où la règle pratique : la charge est quasi complète après $5\tau$.
Exercice 3 (Transférer le maximum de puissance). Une source de force électromotrice $E$ et de résistance interne $r$ alimente une résistance $R$. Montrer que la puissance reçue par $R$ est maximale pour $R=r$. Application : $E=12$ V et $r=2\ \Omega$.
Indice
$P(R)=\dfrac{E^2R}{(R+r)^2}$ ; étudie le signe de sa dérivée.
Solution
$P'(R)=E^2\dfrac{(R+r)^2-2R(R+r)}{(R+r)^4}=E^2\dfrac{r-R}{(R+r)^3}$ : positive pour $R<r$, négative pour $R>r$. Le maximum vaut $P(r)=\dfrac{E^2}{4r}=18$ W. Le rendement n'est alors que de $50\,\%$ : la moitié de la puissance est perdue dans la source.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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