La maquette du second semestre comporte un projet personnel et professionnel étudiant. Elle mentionne aussi des travaux pratiques de physique avec un statut d’option. Ce module propose des outils de préparation et de compte rendu adaptés à ces enseignements.
Définition 1 (Construire un projet réalisable). Un projet relie un objectif précis, des tâches, un calendrier, des ressources et un livrable observable. On distingue ce que l’on sait déjà, ce qu’il faut apprendre et les informations qu’il reste à vérifier auprès des formations ou des professionnels concernés.
Exercice 2 (Planifier un mini-projet de statistique). Tu disposes de quatre semaines pour réaliser une courte enquête sur les habitudes de révision, avec un questionnaire anonyme de cinq questions et une restitution de deux pages. Proposer un calendrier, un livrable et deux limites à signaler.
Indice
Prévois le temps de conception, de collecte, de vérification, d’analyse et de rédaction.
Solution
Une organisation possible : semaine 1, préciser l’objectif et tester le questionnaire ; semaine 2, recueillir des réponses volontaires anonymes ; semaine 3, vérifier les données et calculer des fréquences ou médianes ; semaine 4, rédiger les deux pages et relire les graphiques. Le livrable présente la méthode, l’effectif, les résultats et les limites. Une participation volontaire peut créer un biais de sélection ; un faible effectif limite la généralisation. Une association observée ne prouve pas une causalité.
Mesures et compte rendu de TP
Définition 3 (Décrire une expérience reproductible). Un compte rendu indique l’objectif, le schéma du montage, le protocole, les appareils et leurs unités, les mesures brutes, les calculs et la conclusion. Des mesures répétées aident à observer la dispersion ; une faible dispersion ne prouve pas l’absence d’erreur systématique.
Exercice 4 (Exploiter des mesures de résistance). À une tension supposée constante de $6{,}0$ V, trois mesures d'intensité donnent $0{,}029$, $0{,}030$ et $0{,}031$ A. Calculer l'intensité moyenne et estimer la résistance par $R=U/\bar I$. Déterminer les résistances correspondant aux deux intensités extrêmes et interpréter cet intervalle.
Indice
Exprime toutes les intensités en ampères. Pour une tension positive fixée, $U/I$ décroît quand $I$ augmente.
Solution
La moyenne est $\bar I=(0{,}029+0{,}030+0{,}031)/3=0{,}030$ A. L'estimation vaut donc $R=6/0{,}030=200\ \Omega$. Les valeurs extrêmes donnent $6/0{,}031\simeq193{,}55\ \Omega$ et $6/0{,}029\simeq206{,}90\ \Omega$. Cet intervalle décrit l'effet de la dispersion des trois intensités sur le calcul, avec $U$ supposée exacte. Ce n'est pas un intervalle de confiance : il ne tient pas compte de l'incertitude de la tension ni d'un éventuel biais des appareils.
Vérifie ta compréhension. Trois mesures sont presque identiques. Peut-on en déduire que l’appareil est exact ?
Oui, toujours
Non, un biais systématique peut subsister
Oui, si on calcule leur moyenne
Réponse
Bonne réponse : B.
Des mesures proches montrent une faible dispersion dans ces conditions. Un appareil mal étalonné peut toutefois produire des mesures très regroupées et décalées.
Remarque 5 (Repères du parcours L1). Les modules transversaux regroupent plusieurs UE ; les durées proposées sont des repères de travail personnel.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Un objectif précis). Reformuler l'objectif « réussir en mathématiques ce semestre » pour qu'il soit spécifique, mesurable, atteignable, réaliste et daté.
Indice
Précise une action, un indicateur chiffré et une échéance.
Solution
Exemple : « Obtenir au moins $12/20$ à l'examen d'analyse de janvier, en faisant chaque semaine deux séries d'exercices corrigés et en relisant mes erreurs le dimanche. » L'indicateur ($12/20$), les moyens (deux séries) et l'échéance (janvier) permettent de suivre l'avancement et d'ajuster.
Exercice 2 (Des chiffres significatifs). Combien de chiffres significatifs comptent $0{,}0302$ et $1{,}50\times10^3$ ? Donner le résultat de $2{,}5\times1{,}25$ avec un nombre de chiffres adapté.
Indice
Les zéros de tête ne comptent pas ; les zéros de fin écrits comptent. Un produit garde autant de chiffres significatifs que la donnée la moins précise.
Solution
$0{,}0302$ a $3$ chiffres significatifs, et $1{,}50\times10^3$ aussi. $2{,}5\times1{,}25=3{,}125$, à arrondir à deux chiffres significatifs : $3{,}1$.
Exercice 3 (Moyenner des mesures). Cinq mesures de la période d'un pendule donnent $1{,}98$ ; $2{,}02$ ; $2{,}00$ ; $2{,}01$ et $1{,}99$ s. Calculer la moyenne.
Indice
Additionne les cinq valeurs et divise par $5$.
Solution
La somme vaut $10{,}00$ s, donc la moyenne vaut $2{,}00$ s. Moyenner plusieurs mesures réduit l'effet des erreurs aléatoires, pas celui d'un biais systématique.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Incertitude-type d’une moyenne). Avec les cinq périodes de l'exercice précédent, calculer l'écart-type expérimental $s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2}$, puis l'incertitude-type de la moyenne $u=\dfrac{s}{\sqrt n}$. Écrire le résultat.
Indice
Les écarts à la moyenne valent $-0{,}02$ ; $0{,}02$ ; $0$ ; $0{,}01$ et $-0{,}01$ s.
Solution
La somme des carrés des écarts vaut $0{,}0010$ s², donc $s=\sqrt{0{,}0010/4}\simeq0{,}016$ s et $u=\dfrac{0{,}016}{\sqrt5}\simeq0{,}007$ s. Résultat : $T=2{,}000\pm0{,}007$ s, en précisant qu'il s'agit d'une incertitude-type.
Exercice 2 (Organiser un TP en quatre semaines). Une équipe doit, en quatre semaines, préparer un protocole, réaliser des mesures, les exploiter et rendre un compte rendu. Proposer un rétroplanning avec une étape de contrôle.
Indice
Pars de la date de rendu et remonte le temps ; prévois une marge pour les imprévus.
Solution
Exemple : semaine $1$, protocole et liste du matériel, validés par l'enseignant ; semaine $2$, mesures, avec une séance de réserve ; semaine $3$, calculs, graphiques et incertitudes ; semaine $4$, rédaction, relecture croisée puis rendu deux jours avant l'échéance. Le point de contrôle de la semaine $1$ évite de mesurer avec un protocole erroné.
Exercice 3 (Propager une incertitude). On mesure $U=6{,}0\pm0{,}1$ V et $I=0{,}030\pm0{,}001$ A (incertitudes-types, indépendantes). Calculer $R=U/I$ et son incertitude, avec $\dfrac{u(R)}{R}=\sqrt{\left(\dfrac{u(U)}{U}\right)^2+\left(\dfrac{u(I)}{I}\right)^2}$.
Indice
Calcule séparément les deux incertitudes relatives.
Solution
$R=\dfrac{6{,}0}{0{,}030}=200\ \Omega$. Les incertitudes relatives valent $\dfrac{0{,}1}{6}\simeq1{,}7\,\%$ et $\dfrac{0{,}001}{0{,}030}\simeq3{,}3\,\%$, d'où $\dfrac{u(R)}{R}\simeq3{,}7\,\%$ et $u(R)\simeq7\ \Omega$. Résultat : $R=200\pm7\ \Omega$. Pour améliorer la mesure, il faut d'abord mesurer l'intensité plus précisément.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Vérifier une loi par une droite). La période d'un pendule simple vérifie $T=2\pi\sqrt{L/g}$. On mesure $T=1{,}00$ ; $1{,}42$ et $2{,}01$ s pour $L=0{,}25$ ; $0{,}50$ et $1{,}00$ m. Quelle grandeur tracer en fonction de $L$ pour obtenir une droite ? En déduire une estimation de $g$.
Indice
Élève la relation au carré : $T^2=\dfrac{4\pi^2}{g}L$.
Solution
On trace $T^2$ en fonction de $L$ : on attend une droite passant par l'origine, de pente $\dfrac{4\pi^2}{g}$. Les valeurs de $T^2$ sont $1{,}00$ ; $2{,}02$ et $4{,}04$ s², et les rapports $T^2/L$ valent environ $4{,}00$ ; $4{,}03$ et $4{,}04$ s²/m, de moyenne $4{,}02$ s²/m. D'où $g\simeq\dfrac{39{,}48}{4{,}02}\simeq9{,}8$ m/s².
Exercice 2 (Conclure un compte rendu). Un groupe obtient $g=9{,}62\pm0{,}08$ m/s² (incertitude-type) pour une valeur de référence de $9{,}81$ m/s². Rédiger une conclusion argumentée.
Indice
Calcule l'écart relatif et compare l'écart à l'incertitude.
Solution
L'écart vaut $0{,}19$ m/s², soit $1{,}9\,\%$ de la référence, et plus de deux fois l'incertitude-type : le résultat n'est pas compatible avec la référence. On cherche une erreur systématique, par exemple une longueur mesurée jusqu'au crochet plutôt qu'au centre de la masse, une amplitude trop grande ou un temps de réaction au déclenchement. La conclusion propose une nouvelle mesure corrigée plutôt que d'ajuster le résultat.
Exercice 3 (Anticiper les risques d’un projet). Pour une enquête de quatre semaines par questionnaire anonyme, identifier trois risques et proposer pour chacun une mesure de prévention.
Indice
Pense au nombre de réponses, à la qualité des questions et au temps de traitement.
Solution
Exemples : trop peu de réponses, d'où une diffusion dans plusieurs groupes et une relance à mi-parcours ; des questions ambiguës, d'où un test du questionnaire sur trois personnes avant la diffusion ; un traitement trop long, d'où un tableau d'analyse préparé avant la collecte. Un risque bien identifié devient une tâche planifiée.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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