L'intégrale de Riemann découpe l'axe des abscisses. Lebesgue propose l'inverse : découper l'axe des valeurs, puis mesurer l'ensemble des points où $f$ dépasse chaque niveau. Il faut alors savoir « mesurer » des ensembles très irréguliers : c'est l'objet de la théorie de la mesure.
Tribus et mesures
Définition 1 (Tribu). Une tribu (ou σ-algèbre) sur un ensemble $X$ est une famille $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$ telle que :
$X \in \mathcal{A}$ ;
si $A \in \mathcal{A}$, alors $A^c \in \mathcal{A}$ ;
si $(A_n)_{n \in \N}$ est une suite d'éléments de $\mathcal{A}$, alors $\bigcup_{n} A_n \in \mathcal{A}$.
Définition 2 (Mesure). Une mesure sur $(X, \mathcal{A})$ est une application $\mu : \mathcal{A} \to [0, +\infty]$ telle que $\mu(\emptyset) = 0$ et, pour toute suite $(A_n)$ d'éléments de $\mathcal{A}$ deux à deux disjoints, $$\mu\Big(\bigsqcup_{n \in \N} A_n\Big) = \sum_{n=0}^{\infty} \mu(A_n).$$
Exemple 3 (Mesure de Lebesgue). Sur $\R$ muni de la tribu borélienne, il existe une unique mesure $\lambda$ telle que $\lambda([a,b]) = b - a$ pour tous $a \le b$ : c'est la mesure de Lebesgue.
Vérifie ta compréhension. Que vaut $\lambda(\Q \cap [0,1])$ ?
$1$
$0$
$\tfrac12$
Ce n'est pas défini
Réponse
Bonne réponse : B.
$\Q \cap [0,1]$ est dénombrable : c'est une union dénombrable de singletons, chacun de mesure nulle. Par σ-additivité, sa mesure vaut $0$.
Intégrale et passage à la limite
Théorème 4 (Convergence dominée). Soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables qui converge $\mu$-presque partout vers $f$. S'il existe $g$ intégrable telle que $|f_n| \le g$ pour tout $n$, alors $f$ est intégrable et $$\lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu = \int_X f \, d\mu.$$
Preuve
On applique le lemme de Fatou aux fonctions positives $g + f_n$ et $g - f_n$. On obtient $\int f \le \liminf \int f_n$ et $-\int f \le \liminf \left(-\int f_n\right)$, c'est-à-dire $$\limsup_n \int f_n \le \int f \le \liminf_n \int f_n.$$
∎
Exercice 5 (Une fonction non Riemann-intégrable). Soit $f = \mathbf{1}_{\Q \cap [0,1]}$. Montrer que $f$ n'est pas Riemann-intégrable, puis calculer $\int_{[0,1]} f \, d\lambda$.
Indice
Sur tout intervalle non trivial, $f$ prend les valeurs $0$ et $1$ : compare les sommes de Darboux inférieures et supérieures.
Solution
Toute somme de Darboux inférieure vaut $0$ et toute somme supérieure vaut $1$ : $f$ n'est pas Riemann-intégrable. En revanche $\int f \, d\lambda = \lambda(\Q \cap [0,1]) = 0$.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Une tribu engendrée). Sur $E = \{1, 2, 3, 4\}$, décrire la tribu engendrée par $\{1, 2\}$, puis celle engendrée par $\{1\}$ et $\{2\}$.
Indice
Une tribu contient $\emptyset$, $E$, et elle est stable par complémentaire et réunion. Cherche les plus petites parties « insécables » (les atomes).
Solution
La tribu engendrée par $\{1, 2\}$ est $\{\emptyset, \{1, 2\}, \{3, 4\}, E\}$. Pour $\{1\}$ et $\{2\}$, les atomes sont $\{1\}$, $\{2\}$ et $\{3, 4\}$ ; la tribu contient les $2^3 = 8$ réunions d'atomes : $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3, 4\}$, $\{1, 2\}$, $\{1, 3, 4\}$, $\{2, 3, 4\}$ et $E$.
Exercice 2 (Dirac et comptage). Sur $(\N, \mathcal P(\N))$, on note $\delta_0$ la mesure de Dirac en $0$ et $\mu$ la mesure de comptage. Calculer $\delta_0(\{0, 1, 2\})$, $\delta_0(2\N + 1)$, $\mu(\{0, \ldots, 10\})$ et $\mu(2\N)$. Justifier que $\delta_0$ est $\sigma$-additive.
Indice
$\delta_0(A)$ vaut $1$ si $0 \in A$, et $0$ sinon.
Solution
$\delta_0(\{0, 1, 2\}) = 1$, $\delta_0(2\N + 1) = 0$, $\mu(\{0, \ldots, 10\}) = 11$ et $\mu(2\N) = +\infty$. Pour des $A_n$ deux à deux disjoints, $0$ appartient à au plus un $A_n$ : les deux membres de $\delta_0\left(\bigcup A_n\right) = \sum \delta_0(A_n)$ valent $1$ si $0$ est dans l'un des $A_n$, et $0$ sinon.
Exercice 3 (Premières propriétés d’une mesure). Soit $\mu$ une mesure et $A \subseteq B$ deux ensembles mesurables. Montrer que $\mu(A) \le \mu(B)$, et que $\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$ si $\mu(A) < \infty$. Montrer aussi que $\mu(A \cup C) + \mu(A \cap C) = \mu(A) + \mu(C)$ pour $A$, $C$ mesurables.
Indice
Écris $B$ comme réunion disjointe de $A$ et de $B \setminus A$.
Solution
$B = A \sqcup (B \setminus A)$, donc $\mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) \ge \mu(A)$. Si $\mu(A) < \infty$, on peut soustraire : $\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$. Ensuite, $A \cup C = A \sqcup (C \setminus A)$ et $C = (A \cap C) \sqcup (C \setminus A)$. En ajoutant $\mu(A \cap C)$ à la première égalité : $\mu(A \cup C) + \mu(A \cap C) = \mu(A) + \mu(C \setminus A) + \mu(A \cap C) = \mu(A) + \mu(C)$, sans soustraction, donc valable même avec des mesures infinies.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Continuité monotone). Soit $(A_n)$ une suite croissante d'ensembles mesurables. Montrer que $\mu\left(\bigcup_n A_n\right) = \lim_n \mu(A_n)$. Montrer ensuite, avec la mesure de Lebesgue et $B_n = [n, +\infty[$, que le résultat analogue pour une suite décroissante peut être faux.
Indice
Pose $C_0 = A_0$ et $C_n = A_n \setminus A_{n-1}$ : ces ensembles sont disjoints.
Solution
Les $C_n$ sont deux à deux disjoints, $A_n = C_0 \sqcup \cdots \sqcup C_n$ et $\bigcup A_n = \bigsqcup C_n$. Par $\sigma$-additivité, $\mu\left(\bigcup A_n\right) = \sum_k \mu(C_k) = \lim_n \sum_{k \le n} \mu(C_k) = \lim_n \mu(A_n)$. Pour les $B_n$ : $\lambda(B_n) = +\infty$ pour tout $n$, mais $\bigcap B_n = \emptyset$, de mesure nulle. Pour une suite décroissante, il faut supposer $\mu(B_{n_0}) < \infty$ pour un certain $n_0$.
Exercice 2 (Les rationnels sont négligeables). Montrer que $\lambda(\Q) = 0$, puis que $\lambda([0, 1] \setminus \Q) = 1$.
Indice
$\Q$ est dénombrable et $\lambda(\{x\}) = \lambda([x, x]) = 0$.
Solution
On énumère $\Q = \{q_n : n \in \N\}$. Par $\sigma$-additivité, $\lambda(\Q) = \sum_n \lambda(\{q_n\}) = 0$. Comme $[0, 1] = ([0, 1] \cap \Q) \sqcup ([0, 1] \setminus \Q)$ et $\lambda([0, 1] \cap \Q) = 0$, on obtient $\lambda([0, 1] \setminus \Q) = 1$. Les irrationnels « remplissent » donc tout le segment, du point de vue de la mesure.
Utilise $|\sin u| \le |u|$ pour dominer, et $\dfrac{\sin u}{u} \to 1$ quand $u \to 0$.
Solution
Pour $x > 0$, $f_n(x) = \dfrac{\sin(x/n)}{x/n} \cdot \dfrac{1}{1 + x^2}$ tend vers $\dfrac{1}{1 + x^2}$. De plus $|f_n(x)| \le \dfrac{1}{1 + x^2}$, fonction intégrable sur $]0, +\infty[$. Par convergence dominée, la limite vaut $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{\pi}{2}$.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Quand la domination manque). Soit $f_n = n\,\mathbf 1_{]0, 1/n]}$ sur $]0, 1]$. Montrer que $f_n \to 0$ partout, que $\int f_n\,d\lambda = 1$, et qu'aucune fonction intégrable ne domine toute la suite.
Indice
Si $g \ge f_n$ pour tout $n$, alors $g \ge \sup_n f_n$. Minore ce supremum.
Solution
Pour $x \in ]0, 1]$, $f_n(x) = 0$ dès que $n > 1/x$ : la suite tend vers $0$. Pourtant $\int f_n = n \times \dfrac1n = 1$ : on ne peut pas échanger limite et intégrale. Si $g \ge f_n$ pour tout $n$, alors pour $x \in ]0, 1]$, en prenant $n = \lfloor 1/x \rfloor \ge 1$, on a $x \le 1/n$ et $g(x) \ge n > \dfrac1x - 1$. Or $x \mapsto \dfrac1x - 1$ n'est pas intégrable sur $]0, 1]$ : aucune domination intégrable n'existe, ce qui est cohérent avec le théorème.
Exercice 2 (Le lemme de Borel–Cantelli). Soit $(A_n)$ des ensembles mesurables tels que $\sum_n \mu(A_n) < \infty$. Montrer que l'ensemble $\limsup A_n = \bigcap_n \bigcup_{k \ge n} A_k$ des points appartenant à une infinité de $A_n$ est de mesure nulle.
Indice
Pour tout $n$, $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{k \ge n} A_k$.
Solution
Par sous-additivité, $\mu(\limsup A_n) \le \mu\left(\bigcup_{k \ge n} A_k\right) \le \sum_{k \ge n} \mu(A_k)$ pour tout $n$. Ce reste d'une série convergente tend vers $0$, donc $\mu(\limsup A_n) = 0$ : presque tout point n'appartient qu'à un nombre fini de $A_n$.
Exercice 3 (Une intégrale à paramètre). Pour $t \in \R$, on pose $F(t) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x} \cos(tx)\,dx$. Montrer que $F$ est continue, puis calculer $F(t)$.
Indice
Domine par $e^{-x}$. Pour le calcul, écris $\cos(tx) = \operatorname{Re}\,e^{itx}$.
Solution
Pour tout $t$, $|e^{-x} \cos(tx)| \le e^{-x}$, intégrable sur $[0, +\infty[$, et $t \mapsto e^{-x} \cos(tx)$ est continue : $F$ est continue par convergence dominée (appliquée le long de toute suite $t_n \to t$). Ensuite $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-(1 - it)x}\,dx = \frac{1}{1 - it} = \frac{1 + it}{1 + t^2}$, dont la partie réelle donne $F(t) = \dfrac{1}{1 + t^2}$.
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Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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