Lancer un dé, tirer une carte, choisir une personne au hasard : on ne peut pas prévoir le résultat, mais on peut mesurer ses chances de se produire.
Définition 1 (Univers et événements). L'univers $\Omega$ est l'ensemble des issues possibles d'une expérience aléatoire. Un événement est une partie de $\Omega$. L'événement contraire de $A$, noté $\bar A$, est formé des issues qui ne sont pas dans $A$.
Définition 2 (Probabilité sur un univers fini). Une probabilité associe à chaque issue $\omega$ un nombre $p(\omega) \ge 0$, avec $\sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) = 1$. La probabilité d'un événement $A$ est $P(A) = \sum_{\omega \in A} p(\omega)$.
En situation d'équiprobabilité, toutes les issues ont la même probabilité et $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre d'issues de } \Omega}.$$
Proposition 3 (Règles de calcul). Pour tous événements $A$ et $B$ : $$P(\bar A) = 1 - P(A) \qquad \text{et} \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$
Preuve
$A$ et $\bar A$ sont disjoints et leur réunion est $\Omega$, donc $P(A) + P(\bar A) = P(\Omega) = 1$.
Pour la réunion : $A \cup B$ est la réunion disjointe de $A$ et de $B \setminus A$, donc $P(A \cup B) = P(A) + P(B \setminus A)$. Et $B$ est la réunion disjointe de $B \setminus A$ et de $A \cap B$, donc $P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B)$.
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Exemple 4 (Un dé équilibré). On lance un dé équilibré à six faces. L'événement $A$ « obtenir un nombre pair » contient les issues $2$, $4$ et $6$ : $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. L'événement $B$ « obtenir au moins 5 » contient $5$ et $6$ : $P(B) = \dfrac{1}{3}$. Comme $A \cap B$ ne contient que $6$, $$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}.$$
Vérifie ta compréhension. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?
$\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{8}$
$\dfrac{1}{32}$
Réponse
Bonne réponse : A.
Le jeu contient 8 cœurs sur 32 cartes, toutes équiprobables : $\dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$.
Probabilités conditionnelles
Définition 5 (Probabilité de A sachant B). Si $P(B) > 0$, la probabilité de $A$ sachant $B$ est $$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$ C'est la probabilité de $A$ quand on sait que $B$ est réalisé.
Théorème 6 (Formule des probabilités totales). Si $0 < P(B) < 1$, alors pour tout événement $A$ : $$P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar B)\,P_{\bar B}(A).$$
Preuve
$A$ est la réunion disjointe de $A \cap B$ et de $A \cap \bar B$, donc $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar B)$. Par définition de la probabilité conditionnelle, $P(A \cap B) = P(B)\,P_B(A)$ et $P(A \cap \bar B) = P(\bar B)\,P_{\bar B}(A)$.
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Exercice 7 (Le test de dépistage). Dans une population, $2\,\%$ des personnes sont malades. Un test est positif chez $95\,\%$ des malades et chez $10\,\%$ des personnes saines. Quelle est la probabilité qu'un test pris au hasard soit positif ?
Indice
Note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ « le test est positif », puis applique la formule des probabilités totales avec $B = M$.
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Une urne colorée). Une urne contient $3$ boules rouges, $5$ vertes et $2$ bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité qu'elle soit rouge, puis celle qu'elle ne soit pas verte.
Indice
Il y a équiprobabilité sur les $10$ boules. Pense à l'événement contraire.
Solution
$P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{10}$. L'événement « verte » a pour probabilité $\dfrac{5}{10}$, donc $P(\text{pas verte}) = 1 - \dfrac{5}{10} = \dfrac12$. On retrouve ce résultat en comptant les $3 + 2 = 5$ boules rouges ou bleues.
Exercice 2 (Deux pièces). On lance deux pièces équilibrées. Décrire l'univers, puis calculer la probabilité d'obtenir au moins un pile.
Indice
L'univers contient quatre issues équiprobables. L'événement contraire de « au moins un pile » est « aucun pile ».
Solution
$\Omega = \{PP, PF, FP, FF\}$, avec quatre issues équiprobables. L'événement contraire « aucun pile » est $\{FF\}$, de probabilité $\dfrac14$. Donc $P(\text{au moins un pile}) = 1 - \dfrac14 = \dfrac34$.
Exercice 3 (La formule de la réunion). On sait que $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}15$. Calculer $P(A \cup B)$, puis la probabilité que ni $A$ ni $B$ ne se réalise.
Indice
« Ni $A$ ni $B$ » est l'événement contraire de $A \cup B$.
Solution
$P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}15 = 0{,}75$. Ni $A$ ni $B$ : $P(\bar A \cap \bar B) = 1 - P(A \cup B) = 0{,}25$.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Deux dés). On lance deux dés équilibrés à six faces. Calculer la probabilité que la somme vaille $7$, puis celle qu'elle soit au moins égale à $10$.
Indice
L'univers contient $36$ couples équiprobables. Liste les couples favorables.
Solution
Somme $7$ : $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$, soit $6$ couples et une probabilité $\dfrac{6}{36} = \dfrac16$. Somme au moins $10$ : $(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)$, soit $6$ couples et une probabilité $\dfrac16$ elle aussi.
Exercice 2 (Le bus et le retard). Un élève prend le bus $70\,\%$ des jours. Il arrive en retard $10\,\%$ des jours où il prend le bus et $25\,\%$ des autres jours. Calculer la probabilité qu'il soit en retard, puis la probabilité qu'il ait pris le bus sachant qu'il est en retard.
Indice
Dessine un arbre, applique la formule des probabilités totales, puis la définition de la probabilité conditionnelle.
Solution
Avec $B$ « bus » et $R$ « retard » : $P(R) = 0{,}7 \times 0{,}1 + 0{,}3 \times 0{,}25 = 0{,}07 + 0{,}075 = 0{,}145$. Puis $P_R(B) = \dfrac{P(B \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0{,}07}{0{,}145} \simeq 0{,}483$. Même s'il prend souvent le bus, moins d'un retard sur deux vient d'un jour de bus.
Exercice 3 (Indépendants ou non ?). On lance un dé équilibré. On note $A$ « pair », $B$ « multiple de $3$ » et $C$ « au moins $4$ ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Et $A$ et $C$ ?
Indice
$A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.
Solution
$P(A) = \dfrac12$, $P(B) = \dfrac13$ et $A \cap B = \{6\}$, donc $P(A \cap B) = \dfrac16 = P(A)\,P(B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants. Ensuite $C = \{4, 5, 6\}$ et $A \cap C = \{4, 6\}$, donc $P(A \cap C) = \dfrac13$ alors que $P(A)\,P(C) = \dfrac14$ : $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Le problème des anniversaires). Cinq personnes sont réunies. On suppose que chaque date d'anniversaire est l'un des $365$ jours, avec équiprobabilité et indépendance. Quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre elles aient le même anniversaire ?
Indice
Calcule la probabilité de l'événement contraire : les cinq dates sont toutes différentes.
Solution
Les cinq dates sont distinctes avec probabilité $$\frac{365 \times 364 \times 363 \times 362 \times 361}{365^5} \simeq 0{,}9729.$$ La probabilité cherchée vaut donc environ $1 - 0{,}9729 = 0{,}027$, soit $2{,}7\,\%$. Ce calcul surprend quand le groupe grandit : dès $23$ personnes, la probabilité dépasse $\dfrac12$.
Exercice 2 (Deux tests valent mieux qu’un). Une maladie touche $2\,\%$ d'une population. Un test est positif chez $95\,\%$ des malades et chez $10\,\%$ des personnes saines. Une personne passe deux tests, positifs tous les deux. On suppose les résultats indépendants sachant l'état de la personne. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? Comparer avec un seul test positif.
Indice
Sachant que la personne est malade, deux tests positifs ont probabilité $0{,}95^2$ ; sachant qu'elle est saine, $0{,}1^2$.
Solution
Avec un test : $\dfrac{0{,}02 \times 0{,}95}{0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}1} = \dfrac{0{,}019}{0{,}117} \simeq 0{,}162$. Avec deux tests : $$\frac{0{,}02 \times 0{,}95^2}{0{,}02 \times 0{,}95^2 + 0{,}98 \times 0{,}1^2} = \frac{0{,}01805}{0{,}02785} \simeq 0{,}648.$$ Le second test fait passer la probabilité d'environ $16\,\%$ à environ $65\,\%$. L'hypothèse d'indépendance est essentielle : deux tests sensibles à la même erreur n'apporteraient pas autant d'information.
Exercice 3 (Un jeu équitable ?). Un joueur lance deux dés. S'il obtient un double, il gagne $500$ FCFA ; sinon, il perd $100$ FCFA. Le gain moyen est la somme des gains pondérés par leurs probabilités. Calculer ce gain moyen. Le jeu est-il équitable ?
Indice
Il y a $6$ doubles parmi les $36$ couples.
Solution
$P(\text{double}) = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$. Le gain moyen vaut $500 \times \dfrac16 + (-100) \times \dfrac56 = \dfrac{500 - 500}{6} = 0$ FCFA. Le jeu est équitable : sur un grand nombre de parties, ni le joueur ni l'organisateur ne gagne en moyenne.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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