Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. C'est le cas du prix payé et de la quantité achetée, ou de la distance parcourue et de la durée à vitesse constante.
Définition 1 (Proportionnalité). Deux grandeurs $x$ et $y$ sont proportionnelles s'il existe un nombre $k$, appelé coefficient de proportionnalité, tel que $y = k \times x$ pour toutes les valeurs correspondantes.
Proposition 2 (Égalité des produits en croix). Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$, alors $a \times d = b \times c$.
Preuve
On multiplie les deux membres de l'égalité par $b \times d$ : à gauche, $\dfrac{a}{b} \times b \times d = a \times d$ ; à droite, $\dfrac{c}{d} \times b \times d = b \times c$.
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Exemple 3 (Le prix du carburant). 20 litres de carburant coûtent 16 000 FCFA. Le prix d'un litre est $16\,000 \div 20 = 800$ FCFA : c'est le coefficient de proportionnalité. Donc 35 litres coûtent $35 \times 800 = 28\,000$ FCFA.
Vérifie ta compréhension. Dans un tableau de proportionnalité, $3$ correspond à $12$. À quoi correspond $5$ ?
20
14
15
Réponse
Bonne réponse : A.
Le coefficient vaut $12 \div 3 = 4$, donc $5$ correspond à $5 \times 4 = 20$.
Pourcentages
Définition 4 (Prendre un pourcentage). Prendre $t\,\%$ d'une quantité $Q$, c'est calculer $\dfrac{t}{100} \times Q$. Par exemple, $15\,\%$ de $200$ valent $\dfrac{15}{100} \times 200 = 30$.
Proposition 5 (Augmentation et réduction). Augmenter une quantité de $t\,\%$ revient à la multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$. La réduire de $t\,\%$ revient à la multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$.
Preuve
Après une hausse de $t\,\%$, la quantité devient $Q + \dfrac{t}{100}\,Q = \left(1 + \dfrac{t}{100}\right) Q$. De même, après une baisse : $Q - \dfrac{t}{100}\,Q = \left(1 - \dfrac{t}{100}\right) Q$.
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Remarque 6 (Deux variations successives). Une hausse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ ne ramène pas au prix de départ : $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$, soit au total une baisse de $1\,\%$.
Exercice 7 (Les soldes au marché). Un tissu coûte 12 000 FCFA. Il est soldé à $-15\,\%$. Quel est son nouveau prix ?
Indice
Une réduction de $15\,\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}15 = 0{,}85$.
Solution
$12\,000 \times 0{,}85 = 10\,200$ FCFA. La réduction vaut $12\,000 - 10\,200 = 1\,800$ FCFA, soit bien $15\,\%$ de $12\,000$.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Le prix des mangues). Au marché, $3$ kg de mangues coûtent $2\,400$ FCFA. Le prix est proportionnel à la masse. Combien coûtent $5$ kg de mangues ?
Indice
Calcule d'abord le prix d'un kilogramme : c'est le coefficient de proportionnalité.
Solution
Le coefficient vaut $2\,400 \div 3 = 800$ FCFA par kilogramme. Donc $5$ kg coûtent $5 \times 800 = 4\,000$ FCFA. Vérification par produit en croix : $\dfrac{2\,400}{3} = \dfrac{4\,000}{5} = 800$.
Exercice 2 (Les filles de la classe). Une classe compte $40$ élèves, dont $35\,\%$ de filles. Combien y a-t-il de filles ? Combien de garçons ?
Indice
Prendre $35\,\%$ de $40$, c'est calculer $\dfrac{35}{100} \times 40$.
Solution
Il y a $\dfrac{35}{100} \times 40 = 14$ filles, donc $40 - 14 = 26$ garçons. Contrôle : les garçons représentent $65\,\%$ de la classe et $0{,}65 \times 40 = 26$.
Exercice 3 (Reconnaître un tableau de proportionnalité). On donne les couples $(2\,;\,5)$, $(3\,;\,7{,}5)$ et $(8\,;\,20)$. S'agit-il d'une situation de proportionnalité ? Si oui, quelle valeur correspond à $12$ ?
Indice
Calcule le quotient de la deuxième valeur par la première pour chaque couple.
Solution
Les quotients valent $5 \div 2 = 2{,}5$, $7{,}5 \div 3 = 2{,}5$ et $20 \div 8 = 2{,}5$ : ils sont égaux, c'est donc une situation de proportionnalité de coefficient $2{,}5$. À $12$ correspond $12 \times 2{,}5 = 30$.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Retrouver le prix de départ). Après une hausse de $8\,\%$, un article coûte $5\,400$ FCFA. Quel était son prix avant la hausse ?
Indice
Une hausse de $8\,\%$ revient à multiplier par $1{,}08$. Pour revenir en arrière, on divise.
Solution
Si $P$ est le prix initial, $1{,}08\,P = 5\,400$, donc $P = 5\,400 \div 1{,}08 = 5\,000$ FCFA. Erreur fréquente : retirer $8\,\%$ de $5\,400$ donne $4\,968$ FCFA, car le pourcentage ne porte pas sur la même valeur de référence.
Exercice 2 (Un taux d’évolution). Le nombre d'élèves d'un lycée passe de $250$ à $290$. Calculer le taux d'évolution. Si l'effectif revient ensuite de $290$ à $250$, quel est le nouveau taux d'évolution ?
Indice
Le taux d'évolution de $V_0$ à $V_1$ vaut $\dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$.
Solution
De $250$ à $290$ : $\dfrac{290 - 250}{250} = \dfrac{40}{250} = 0{,}16$, soit une hausse de $16\,\%$. De $290$ à $250$ : $\dfrac{250 - 290}{290} = -\dfrac{40}{290} \simeq -0{,}138$, soit une baisse d'environ $13{,}8\,\%$. Les deux taux diffèrent car la valeur de référence change.
Exercice 3 (Le car du matin). Un car roule à la vitesse constante de $72$ km/h. Quelle distance parcourt-il en $2$ h $15$ min ? Combien de temps lui faut-il pour parcourir $54$ km ?
Indice
Convertis $2$ h $15$ min en heures décimales : $15$ min $= 0{,}25$ h.
Solution
La distance est proportionnelle à la durée : $72 \times 2{,}25 = 162$ km. Pour $54$ km, la durée vaut $54 \div 72 = 0{,}75$ h, soit $45$ minutes.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Deux hausses successives). Un prix augmente de $10\,\%$, puis de $20\,\%$. Quel est le taux global d'augmentation ? Quelle baisse faudrait-il ensuite appliquer pour revenir au prix initial ?
Indice
Les coefficients multiplicateurs se multiplient. Pour revenir au départ, il faut multiplier par l'inverse du coefficient global.
Solution
Le coefficient global vaut $1{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}32$ : c'est une hausse de $32\,\%$, et non de $30\,\%$. Pour revenir au prix initial, on multiplie par $\dfrac{1}{1{,}32} \simeq 0{,}7576$, soit une baisse d'environ $24{,}24\,\%$.
Exercice 2 (Lire une carte). Sur une carte à l'échelle $1/25\,000$, deux villages sont séparés de $6{,}4$ cm. Quelle est la distance réelle en kilomètres ? Quelle longueur représente sur la carte une route de $4$ km ?
Indice
À l'échelle $1/25\,000$, $1$ cm sur la carte représente $25\,000$ cm dans la réalité.
Solution
La distance réelle vaut $6{,}4 \times 25\,000 = 160\,000$ cm, soit $1{,}6$ km. Une route de $4$ km $= 400\,000$ cm mesure sur la carte $400\,000 \div 25\,000 = 16$ cm.
Exercice 3 (Plus d’ouvriers, moins de jours). Six ouvriers construisent un mur en $10$ jours. En travaillant au même rythme, combien de jours faut-il à quatre ouvriers ? Le nombre de jours est-il proportionnel au nombre d'ouvriers ?
Indice
Compte le travail total en « journées d'ouvrier » : il ne dépend pas du nombre d'ouvriers.
Solution
Le mur demande $6 \times 10 = 60$ journées d'ouvrier. Avec quatre ouvriers, il faut $60 \div 4 = 15$ jours. Ce n'est pas une proportionnalité : quand le nombre d'ouvriers diminue, la durée augmente. Le produit nombre d'ouvriers $\times$ durée reste constant : on parle de proportionnalité inverse.
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Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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