Définition 1 (Mouvement brownien). Un processus $(W_t)_{t \ge 0}$ est un mouvement brownien standard si $W_0 = 0$, si ses trajectoires sont continues, si ses accroissements sont indépendants et si $W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0,\, t - s)$ pour tous $s < t$.
Définition 2 (Martingale). Un processus $(M_t)$ adapté à une filtration $(\mathcal{F}_t)$ et intégrable est une martingale si $\E[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s$ pour tous $s \le t$.
Proposition 3 (Variation quadratique). Pour toute suite de subdivisions $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = t$ dont le pas tend vers $0$, $$\sum_{i} \big( W_{t_{i+1}} - W_{t_i} \big)^2 \longrightarrow t \quad \text{dans } L^2.$$
Remarque 4. Conséquence : presque sûrement, les trajectoires browniennes sont continues mais nulle part dérivables. On retient la règle de calcul $(dW_t)^2 = dt$, cœur du calcul d'Itô.
Vérifie ta compréhension. Que vaut $\E[W_t^2]$ ?
$0$
$t$
$t^2$
$\sqrt{t}$
Réponse
Bonne réponse : B.
$W_t \sim \mathcal{N}(0, t)$, donc $\E[W_t^2] = \operatorname{Var}(W_t) = t$.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (La covariance du brownien). Soit $(W_t)$ un mouvement brownien standard. Montrer que $E[W_s W_t] = \min(s, t)$.
Indice
Pour $s \le t$, écris $W_t = W_s + (W_t - W_s)$.
Solution
Pour $s \le t$, $E[W_s W_t] = E[W_s^2] + E[W_s(W_t - W_s)]$. L'accroissement $W_t - W_s$ est indépendant de $W_s$ et centré, donc le second terme est nul. Ainsi $E[W_s W_t] = s = \min(s, t)$.
Exercice 2 (Un accroissement). Quelle est la loi de $W_3 - W_1$ ? Calculer $P(W_3 - W_1 > 2)$, sachant que $P(Z > \sqrt2) \simeq 0{,}079$ pour $Z$ normale centrée réduite.
Indice
$W_t - W_s$ suit la loi $\mathcal N(0, t - s)$.
Solution
$W_3 - W_1$ suit la loi $\mathcal N(0, 2)$, donc $W_3 - W_1 = \sqrt2\,Z$ en loi. Alors $P(W_3 - W_1 > 2) = P(Z > 2/\sqrt2) = P(Z > \sqrt2) \simeq 0{,}079$.
Exercice 3 (Le brownien est une martingale). Montrer que $(W_t)$ est une martingale pour sa filtration naturelle $(\mathcal F_t)$.
Indice
Pour $s \le t$, décompose $W_t = W_s + (W_t - W_s)$ et utilise l'indépendance des accroissements.
Solution
$W_t$ est intégrable et adapté. Pour $s \le t$, $E[W_t \mid \mathcal F_s] = W_s + E[W_t - W_s \mid \mathcal F_s] = W_s + E[W_t - W_s] = W_s$, car l'accroissement est indépendant de $\mathcal F_s$ et centré.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (La martingale exponentielle). Pour $\sigma \in \R$, montrer que $M_t = \exp\left(\sigma W_t - \dfrac{\sigma^2 t}{2}\right)$ est une martingale. On rappelle que $E[e^{\sigma Z}] = e^{\sigma^2 v/2}$ si $Z$ suit $\mathcal N(0, v)$.
$M_s$ est $\mathcal F_s$-mesurable et l'accroissement est indépendant de $\mathcal F_s$, donc $E[M_t \mid \mathcal F_s] = M_s\,e^{-\sigma^2(t - s)/2}\,E\left[e^{\sigma(W_t - W_s)}\right] = M_s\,e^{-\sigma^2(t - s)/2}\,e^{\sigma^2(t - s)/2} = M_s$. L'intégrabilité découle du même calcul.
Exercice 2 (L’invariance d’échelle). Pour $c > 0$, montrer que $X_t = \dfrac{1}{\sqrt c}\,W_{ct}$ est encore un mouvement brownien standard.
Indice
Vérifie $X_0 = 0$, la continuité, l'indépendance des accroissements et leur loi.
Solution
$X_0 = 0$ et les trajectoires sont continues. Les accroissements de $X$ sur des intervalles disjoints sont ceux de $W$ sur les intervalles dilatés, encore disjoints : ils sont indépendants. Enfin $X_t - X_s = \dfrac{1}{\sqrt c}(W_{ct} - W_{cs})$ suit $\mathcal N\left(0, \dfrac{c(t - s)}{c}\right) = \mathcal N(0, t - s)$. Zoomer sur un brownien redonne un brownien.
Exercice 3 (La variation quadratique en moyenne). Soit $0 = t_0 < \cdots < t_n = t$ une subdivision de pas $\delta$, et $Q_n = \sum_i (W_{t_{i + 1}} - W_{t_i})^2$. Calculer $E[Q_n]$ et $\operatorname{Var}(Q_n)$, puis montrer que $Q_n \to t$ dans $L^2$ quand $\delta \to 0$. On rappelle que $\operatorname{Var}(Z^2) = 2v^2$ si $Z$ suit $\mathcal N(0, v)$.
Indice
Les accroissements sont indépendants et $\Delta W_i$ suit $\mathcal N(0, \Delta t_i)$.
Solution
$E[Q_n] = \sum_i \Delta t_i = t$ et, par indépendance, $\operatorname{Var}(Q_n) = \sum_i 2(\Delta t_i)^2 \le 2\delta \sum_i \Delta t_i = 2\delta t$. Ainsi $E[(Q_n - t)^2] = \operatorname{Var}(Q_n) \le 2\delta t \to 0$ : la variation quadratique sur $[0, t]$ vaut $t$.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Une martingale cubique). Montrer que $M_t = W_t^3 - 3t\,W_t$ est une martingale.
Indice
Pour $s \le t$, pose $X = W_t - W_s$, indépendant de $\mathcal F_s$, de loi $\mathcal N(0, t - s)$, puis développe $(W_s + X)^3$.
Exercice 2 (Sortir d’un intervalle). Soit $a < 0 < b$ et $\tau$ le premier instant où $W$ atteint $a$ ou $b$. En admettant que le théorème d'arrêt s'applique aux martingales $W_t$ et $W_t^2 - t$ au temps $\tau$, calculer $P(W_\tau = b)$ et $E[\tau]$.
Indice
$W_\tau$ ne prend que les valeurs $a$ et $b$, et $E[W_\tau] = 0$.
Solution
Avec $p = P(W_\tau = b)$ : $pb + (1 - p)a = 0$, donc $p = \dfrac{-a}{b - a}$. Ensuite $E[W_\tau^2] = E[\tau]$, d'où $E[\tau] = pb^2 + (1 - p)a^2 = \dfrac{-ab^2 + ba^2}{b - a} = -ab$. Par exemple, pour sortir de $]-1, 1[$, il faut en moyenne une unité de temps.
Exercice 3 (Le brownien n’est pas à variation bornée). Montrer que, presque sûrement, les trajectoires du brownien ne sont à variation bornée sur aucun intervalle $[0, t]$ avec $t > 0$. On admettra qu'une sous-suite de $Q_n$ converge vers $t$ presque sûrement.
Indice
Majore $Q_n$ par $\max_i |\Delta W_i| \times \sum_i |\Delta W_i|$ et utilise la continuité uniforme de la trajectoire.
Solution
Si la variation totale $V$ d'une trajectoire sur $[0, t]$ était finie, on aurait $Q_n \le \max_i |\Delta W_i| \cdot V$. Par continuité uniforme sur $[0, t]$, $\max_i |\Delta W_i| \to 0$ quand le pas tend vers $0$, donc $Q_n \to 0$. Or une sous-suite de $Q_n$ tend vers $t > 0$ presque sûrement : contradiction. Voilà pourquoi l'intégrale stochastique ne peut pas se définir trajectoire par trajectoire comme une intégrale de Stieltjes.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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