Définition 1 (Espace probabilisé). Un espace probabilisé est un espace mesuré $(\Omega, \mathcal{F}, \PP)$ tel que $\PP(\Omega) = 1$. Une variable aléatoire est une fonction mesurable $X : \Omega \to \R$, et son espérance est une intégrale de Lebesgue : $\E[X] = \int_\Omega X \, d\PP$.
Théorème 2 (Loi forte des grands nombres). Si les $X_n$ sont indépendantes, de même loi et intégrables, alors $$\frac{X_1 + \dots + X_n}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} \E[X_1] \quad \text{presque sûrement.}$$
Vérifie ta compréhension. « Presque sûrement » signifie que l'événement…
se produit pour chaque $\omega \in \Omega$
est de probabilité $1$, son complémentaire pouvant être non vide
est très probable, sans plus de précision
Réponse
Bonne réponse : B.
Tirer un réel uniforme dans [0, 1] donne presque sûrement un irrationnel, alors que les rationnels existent bien : ils forment un ensemble de probabilité nulle.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Simuler une loi exponentielle). Soit $X$ de loi uniforme sur $]0, 1[$ et $Y = -\ln X$. Calculer $P(Y > t)$ pour $t \ge 0$ et reconnaître la loi de $Y$.
Indice
$Y > t$ équivaut à $X < e^{-t}$.
Solution
$P(Y > t) = P(X < e^{-t}) = e^{-t}$ pour $t \ge 0$, et $Y > 0$ presque sûrement. $Y$ suit la loi exponentielle de paramètre $1$. C'est la méthode d'inversion, utilisée pour simuler des lois à partir d'un générateur uniforme.
Exercice 2 (Moments de la loi exponentielle). Soit $X$ de loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, de densité $\lambda e^{-\lambda x}$ sur $[0, +\infty[$. Calculer $E[X]$, $E[X^2]$ et $\operatorname{Var}(X)$.
Indice
Intègre par parties, ou utilise $\displaystyle\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}\,dx = n!$ après changement de variable.
Solution
Avec $u = \lambda x$ : $E[X] = \dfrac1\lambda \displaystyle\int_0^{+\infty} u\,e^{-u}\,du = \frac1\lambda$ et $E[X^2] = \dfrac{1}{\lambda^2}\displaystyle\int_0^{+\infty} u^2 e^{-u}\,du = \frac{2}{\lambda^2}$. Donc $\operatorname{Var}(X) = \dfrac{2}{\lambda^2} - \dfrac{1}{\lambda^2} = \dfrac{1}{\lambda^2}$.
Exercice 3 (Bienaymé–Tchebychev). On lance $100$ fois un dé équilibré et on note $M$ la moyenne des résultats. Sachant qu'un lancer a pour variance $\dfrac{35}{12}$, majorer $P(|M - 3{,}5| \ge 0{,}5)$.
Indice
Les lancers sont indépendants : $\operatorname{Var}(M) = \dfrac{1}{100} \times \dfrac{35}{12}$.
Solution
$E[M] = 3{,}5$ et $\operatorname{Var}(M) = \dfrac{35}{1200}$. Par Bienaymé–Tchebychev, $P(|M - 3{,}5| \ge 0{,}5) \le \dfrac{35/1200}{0{,}25} = \dfrac{35}{300} \simeq 0{,}117$. La vraie probabilité est bien plus petite : l'inégalité est grossière mais toujours valable.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (La loi faible des grands nombres). Soit $(X_n)$ une suite de variables indépendantes de même loi, d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2 < \infty$. Montrer que $\bar X_n = \dfrac1n(X_1 + \cdots + X_n)$ converge en probabilité vers $m$.
Indice
Calcule $\operatorname{Var}(\bar X_n)$ et applique Bienaymé–Tchebychev.
Solution
Par indépendance, $\operatorname{Var}(\bar X_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$, et $E[\bar X_n] = m$. Pour $\varepsilon > 0$, $P(|\bar X_n - m| \ge \varepsilon) \le \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \to 0$. C'est la convergence en probabilité. La loi forte du cours donne même la convergence presque sûre.
Exercice 2 (Covariance nulle sans indépendance). Montrer que si $X$ et $Y$ sont indépendantes et intégrables, alors $E[XY] = E[X]\,E[Y]$. Avec $X$ uniforme sur $\{-1, 0, 1\}$ et $Y = X^2$, montrer que la réciproque est fausse.
Indice
Pour la réciproque, calcule $\operatorname{Cov}(X, Y)$ puis compare $P(X = 0, Y = 1)$ et $P(X = 0)\,P(Y = 1)$.
Solution
Pour des variables discrètes indépendantes, $E[XY] = \sum_{x, y} xy\,P(X = x)\,P(Y = y) = E[X]\,E[Y]$ ; le cas général s'obtient par approximation. Ici $E[X] = 0$ et $E[XY] = E[X^3] = 0$, donc la covariance est nulle. Pourtant $P(X = 0, Y = 1) = 0$ alors que $P(X = 0)\,P(Y = 1) = \dfrac13 \times \dfrac23 = \dfrac29$ : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.
Exercice 3 (Une infinité de succès). Soit $(A_n)_{n \ge 2}$ des événements indépendants avec $P(A_n) = \dfrac1n$. Montrer que, presque sûrement, une infinité de $A_n$ se réalisent.
Indice
Calcule $P\left(\bigcap_{k = n}^{N} \overline{A_k}\right)$, puis fais tendre $N$ vers l'infini.
Solution
Par indépendance, $P\left(\bigcap_{k = n}^{N} \overline{A_k}\right) = \prod_{k = n}^{N}\left(1 - \frac1k\right) = \prod_{k = n}^{N} \frac{k - 1}{k} = \frac{n - 1}{N} \to 0$. Donc $P\left(\bigcap_{k \ge n} \overline{A_k}\right) = 0$ pour tout $n$ : presque sûrement, pour tout $n$, un $A_k$ avec $k \ge n$ se réalise. C'est la seconde partie du lemme de Borel–Cantelli, car $\sum \frac1n = +\infty$.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Le minimum de variables uniformes). Soit $U_1, \ldots, U_n$ indépendantes de loi uniforme sur $[0, 1]$ et $M_n = n\,\min(U_1, \ldots, U_n)$. Calculer $P(M_n > t)$ pour $0 \le t \le n$ et montrer que $M_n$ converge en loi vers une loi exponentielle.
Indice
Le minimum dépasse $t/n$ si et seulement si chaque $U_i$ dépasse $t/n$.
Solution
$P(M_n > t) = P(U_1 > t/n)^n = \left(1 - \frac tn\right)^n$ pour $0 \le t \le n$. Pour $t \ge 0$ fixé, cette quantité tend vers $e^{-t}$. La fonction de répartition de $M_n$ converge donc vers celle de la loi exponentielle de paramètre $1$ : $M_n$ converge en loi vers cette loi.
Exercice 2 (La fonction caractéristique de la gaussienne). Soit $Z$ de loi normale centrée réduite et $\varphi(t) = E[e^{itZ}]$. En admettant la dérivation sous l'intégrale, montrer que $\varphi'(t) = -t\,\varphi(t)$, puis que $\varphi(t) = e^{-t^2/2}$.
Indice
Comme la densité est paire, $\varphi(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int \cos(tx)\,e^{-x^2/2}\,dx$. Dérive, puis intègre par parties avec $x\,e^{-x^2/2} = -\left(e^{-x^2/2}\right)'$.
Solution
$\varphi'(t) = -\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int x\sin(tx)\,e^{-x^2/2}\,dx$. Par parties, $\displaystyle\int x\sin(tx)\,e^{-x^2/2}\,dx = \int t\cos(tx)\,e^{-x^2/2}\,dx$, le terme de bord étant nul. Donc $\varphi'(t) = -t\,\varphi(t)$, et $\varphi(t) = \varphi(0)\,e^{-t^2/2} = e^{-t^2/2}$, puisque $\varphi(0) = 1$.
Exercice 3 (Estimer π par Monte-Carlo). On tire des points indépendants uniformes dans $[0, 1]^2$ et on note $X_i = 4$ si le $i$-ème point vérifie $x^2 + y^2 \le 1$, et $X_i = 0$ sinon. Montrer que la moyenne $\bar X_n$ converge vers $\pi$. Combien de points suffisent, d'après Bienaymé–Tchebychev, pour que l'erreur dépasse $0{,}01$ avec une probabilité d'au plus $5\,\%$ ?
Indice
$X_i = 4B_i$ où $B_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = \pi/4$. Majore $p(1 - p)$ par $\dfrac14$.
Solution
$E[X_i] = 4p = \pi$ : par la loi forte des grands nombres, $\bar X_n \to \pi$ presque sûrement. $\operatorname{Var}(X_i) = 16p(1 - p) \le 4$, donc $P(|\bar X_n - \pi| \ge 0{,}01) \le \dfrac{4}{n \times 10^{-4}}$. Cette borne est au plus $0{,}05$ dès que $n \ge 800\,000$. La méthode converge lentement : l'erreur décroît comme $1/\sqrt n$.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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