Un espace de Hilbert est le cadre où la géométrie euclidienne (angles, projections, Pythagore) survit en dimension infinie. C'est le langage naturel des séries de Fourier, de la mécanique quantique et des méthodes variationnelles pour les EDP.
Définition 1 (Espace de Hilbert). Un espace de Hilbert est un espace vectoriel $H$ muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et complet pour la norme $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$.
Exemple 2. $\R^n$ avec le produit scalaire usuel ; $\ell^2(\N)$ avec $\langle u, v \rangle = \sum_n u_n v_n$ ; $L^2(0,1)$ avec $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(x) \, g(x) \, dx$.
Théorème 3 (Projection sur un convexe fermé). Soit $C \subset H$ un convexe fermé non vide. Pour tout $x \in H$, il existe un unique $p = P_C(x) \in C$ tel que $$\|x - p\| = \inf_{y \in C} \|x - y\|.$$ Il est caractérisé par : $\forall y \in C,\ \langle x - p,\, y - p \rangle \le 0$.
Preuve
Soit $d = \inf_{y \in C} \|x - y\|$ et $(y_n)$ une suite de $C$ telle que $\|x - y_n\| \to d$. L'identité du parallélogramme donne $$\Big\| \frac{y_n - y_m}{2} \Big\|^2 = \frac{\|x - y_n\|^2 + \|x - y_m\|^2}{2} - \Big\| x - \frac{y_n + y_m}{2} \Big\|^2 \le \frac{\|x - y_n\|^2 + \|x - y_m\|^2}{2} - d^2,$$ car $\tfrac{y_n + y_m}{2} \in C$ par convexité. Le membre de droite tend vers $0$ : $(y_n)$ est de Cauchy, donc converge (complétude) vers un $p$ qui appartient à $C$ (fermé) et réalise la distance. L'unicité découle de la même inégalité.
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Théorème 4 (Représentation de Riesz). Pour toute forme linéaire continue $\varphi \in H'$, il existe un unique $a \in H$ tel que $\varphi(x) = \langle a, x \rangle$ pour tout $x \in H$. De plus $\|\varphi\|_{H'} = \|a\|$.
Bases hilbertiennes et Fourier
Dans $L^2(-\pi, \pi)$, la famille $\big\{ \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \big\} \cup \big\{ \tfrac{\cos kx}{\sqrt{\pi}}, \tfrac{\sin kx}{\sqrt{\pi}} \big\}_{k \ge 1}$ est une base hilbertienne. La somme de Fourier $S_N f$ est la projection orthogonale de $f$ sur les premiers vecteurs, et l'égalité de Parseval s'écrit $\|f\|^2 = \sum_k |\langle f, e_k \rangle|^2$.
Vérifie ta compréhension. La famille de Fourier ci-dessus est-elle une base algébrique de $L^2(-\pi, \pi)$ ?
Oui
Non : toute fonction est limite de combinaisons finies de ces vecteurs, sans en être une en général
Non, car elle n'est pas orthogonale
Réponse
Bonne réponse : B.
Une base hilbertienne est orthonormée et totale : l'espace qu'elle engendre est dense. Le signal carré n'est combinaison linéaire finie d'aucun de ces vecteurs, mais il est limite en norme $L^2$ de ses sommes de Fourier.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (L’identité du parallélogramme). Dans un espace préhilbertien, démontrer que $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$. Montrer ensuite que la norme $\|(a, b)\|_1 = |a| + |b|$ sur $\R^2$ ne provient d'aucun produit scalaire.
Indice
Développe les deux carrés. Pour la norme $\|\cdot\|_1$, teste $x = (1, 0)$ et $y = (0, 1)$.
Solution
$\|x \pm y\|^2 = \|x\|^2 \pm 2\operatorname{Re}\langle x, y\rangle + \|y\|^2$ ; en additionnant, les termes croisés disparaissent. Pour $\|\cdot\|_1$ : $\|x + y\|_1^2 + \|x - y\|_1^2 = 4 + 4 = 8$ alors que $2\|x\|_1^2 + 2\|y\|_1^2 = 4$. L'identité échoue : cette norme n'est associée à aucun produit scalaire.
Exercice 2 (Projeter sur une droite). Dans $\R^3$ muni du produit scalaire usuel, calculer la projection orthogonale de $u = (1, 2, 3)$ sur la droite engendrée par $v = (1, 1, 0)$, puis la distance de $u$ à cette droite.
Indice
La projection vaut $\dfrac{\langle u, v\rangle}{\|v\|^2}\,v$.
Solution
$\langle u, v\rangle = 3$ et $\|v\|^2 = 2$, donc $p = \dfrac32(1, 1, 0) = (1{,}5\,;\,1{,}5\,;\,0)$. Alors $u - p = (-0{,}5\,;\,0{,}5\,;\,3)$, orthogonal à $v$, et la distance vaut $\|u - p\| = \sqrt{0{,}25 + 0{,}25 + 9} = \sqrt{9{,}5} \simeq 3{,}08$.
Exercice 3 (L’orthogonal est fermé). Soit $A$ une partie d'un espace de Hilbert $H$. Montrer que $A^\perp = \{x \in H : \forall a \in A,\ \langle x, a\rangle = 0\}$ est un sous-espace vectoriel fermé.
Indice
Écris $A^\perp$ comme une intersection de noyaux de formes linéaires continues.
Solution
Pour $a \in A$, la forme $\varphi_a : x \mapsto \langle x, a\rangle$ est linéaire, et continue car $|\varphi_a(x)| \le \|a\|\,\|x\|$ par Cauchy–Schwarz. Son noyau est un sous-espace fermé. $A^\perp = \bigcap_{a \in A} \ker \varphi_a$ est une intersection de sous-espaces fermés : c'est un sous-espace fermé, même si $A$ n'en est pas un.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Meilleure approximation affine dans L²). Dans $L^2(]-1, 1[)$, calculer la projection orthogonale de $f(x) = x^2$ sur $\operatorname{Vect}(1, x)$, puis la distance de $f$ à ce sous-espace.
Indice
Les fonctions $1$ et $x$ sont orthogonales sur $]-1, 1[$ : projette séparément sur chacune.
Solution
$\langle x^2, 1\rangle = \dfrac23$ et $\|1\|^2 = 2$, donc la composante sur $1$ vaut $\dfrac13$. $\langle x^2, x\rangle = 0$ par imparité. La projection est la constante $\dfrac13$. Le carré de la distance vaut $\displaystyle\int_{-1}^1 \left(x^2 - \frac13\right)^2 dx = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}$, d'où une distance $\sqrt{8/45} \simeq 0{,}42$.
Exercice 2 (L’inégalité de Bessel). Soit $(e_n)$ une famille orthonormée d'un espace de Hilbert $H$ et $x \in H$. Montrer que $\sum_n |\langle x, e_n\rangle|^2 \le \|x\|^2$.
Avec $p_N = \sum_{n \le N} \langle x, e_n\rangle e_n$, le vecteur $x - p_N$ est orthogonal à chaque $e_n$ pour $n \le N$, donc à $p_N$. Pythagore donne $\|x\|^2 = \|x - p_N\|^2 + \|p_N\|^2 \ge \|p_N\|^2 = \sum_{n \le N} |\langle x, e_n\rangle|^2$. Les sommes partielles sont majorées par $\|x\|^2$ : la série converge et sa somme est au plus $\|x\|^2$.
Exercice 3 (Riesz en pratique). Dans $H = L^2(]0, 1[)$, on considère $\varphi(f) = \displaystyle\int_0^{1/2} f(x)\,dx$. Montrer que $\varphi$ est une forme linéaire continue, trouver $g \in H$ tel que $\varphi(f) = \langle f, g\rangle$, et calculer la norme de $\varphi$.
$\varphi(f) = \langle f, g\rangle$ avec $g = \mathbf 1_{]0, 1/2[}$. Par Cauchy–Schwarz, $|\varphi(f)| \le \|g\|_2\,\|f\|_2 = \dfrac{1}{\sqrt2}\,\|f\|_2$ : $\varphi$ est continue. Pour $f = g$, $\varphi(g) = \dfrac12 = \dfrac{1}{\sqrt2}\,\|g\|_2$, donc $\|\varphi\| = \|g\|_2 = \dfrac{1}{\sqrt2}$, comme l'annonce le théorème de Riesz.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Parseval et la somme des inverses des carrés). Sur $]-\pi, \pi[$, la fonction $f(x) = x$ a pour série de Fourier $\sum_{n \ge 1} b_n \sin(nx)$ avec $b_n = \dfrac1\pi \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\,dx$. Calculer $b_n$, puis en déduire $\sum_{n \ge 1} \dfrac{1}{n^2}$ grâce à l'égalité de Parseval $\dfrac1\pi \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f^2 = \sum_{n \ge 1} b_n^2$.
Indice
Intègre par parties et utilise $\cos(n\pi) = (-1)^n$.
Solution
Par parité, $b_n = \dfrac2\pi \displaystyle\int_0^\pi x \sin(nx)\,dx = \frac2\pi\left[-\frac{x \cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{2}{\pi n}\int_0^\pi \cos(nx)\,dx = \frac{2(-1)^{n + 1}}{n}$. Ensuite $\dfrac1\pi \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \frac{2\pi^2}{3}$. Parseval donne $\dfrac{2\pi^2}{3} = \sum_{n \ge 1} \dfrac{4}{n^2}$, donc $\sum_{n \ge 1} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$.
Exercice 2 (Projeter sur la boule unité). Soit $B$ la boule unité fermée d'un espace de Hilbert. Montrer que la projection sur $B$ est $P(x) = x$ si $\|x\| \le 1$ et $P(x) = \dfrac{x}{\|x\|}$ sinon.
Indice
Vérifie la caractérisation : $p \in B$ est la projection de $x$ si et seulement si $\operatorname{Re}\langle x - p, y - p\rangle \le 0$ pour tout $y \in B$.
Solution
Si $\|x\| \le 1$, $x \in B$ et $P(x) = x$. Sinon, posons $u = x/\|x\|$, de norme $1$. Alors $x - u = (\|x\| - 1)\,u$ et, pour $y \in B$, $\operatorname{Re}\langle x - u, y - u\rangle = (\|x\| - 1)(\operatorname{Re}\langle u, y\rangle - 1) \le 0$, car $\operatorname{Re}\langle u, y\rangle \le \|u\|\,\|y\| \le 1$. La caractérisation est satisfaite : $P(x) = u$.
Exercice 3 (La base canonique de ℓ²). Dans $\ell^2$, on note $e_n$ la suite valant $1$ au rang $n$ et $0$ ailleurs. Montrer que $(e_n)$ est une base hilbertienne. Montrer que $x = (1/n)_{n \ge 1}$ appartient à $\ell^2$ sans être combinaison linéaire finie des $e_n$.
Indice
Une famille orthonormée est une base hilbertienne si le seul vecteur orthogonal à tous ses éléments est nul.
Solution
La famille est orthonormée : $\langle e_n, e_m\rangle$ vaut $1$ si $n = m$ et $0$ sinon. Si $\langle x, e_n\rangle = x_n = 0$ pour tout $n$, alors $x = 0$ : la famille est totale, c'est une base hilbertienne. Ensuite $\sum 1/n^2 < \infty$, donc $x \in \ell^2$, mais $x$ a une infinité de coordonnées non nulles : ce n'est pas une combinaison linéaire finie. On a seulement $x = \sum_n \frac1n e_n$, au sens d'une série convergente dans $\ell^2$.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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