Définition 1 (Espaces Lᵖ). Pour $1 \le p < \infty$, $L^p(\mu)$ est l'ensemble des fonctions mesurables telles que $$\|f\|_p = \Big( \int_X |f|^p \, d\mu \Big)^{1/p} < \infty,$$ deux fonctions égales $\mu$-presque partout étant identifiées.
Théorème 2 (Inégalité de Hölder). Si $p, q \in\, ]1, \infty[$ vérifient $\tfrac1p + \tfrac1q = 1$, alors $\|fg\|_1 \le \|f\|_p \, \|g\|_q$.
Théorème 3 (Riesz–Fischer). Pour $1 \le p < \infty$, $\big(L^p(\mu), \|\cdot\|_p\big)$ est un espace de Banach.
Remarque 4. Le cas $p = 2$ est à part : la norme vient du produit scalaire $\langle f, g \rangle = \int_X f g \, d\mu$. $L^2$ est donc un espace de Hilbert, sujet du cours suivant.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Une puissance dans quels Lᵖ ?). Pour quels $p \in [1, +\infty[$ la fonction $x \mapsto x^{-1/3}$ appartient-elle à $L^p(]0, 1[)$ ? À $L^p(]1, +\infty[)$ ? Qu'en est-il de $L^\infty$ ?
Indice
$|x^{-1/3}|^p = x^{-p/3}$ : utilise le critère d'intégrabilité des puissances.
Solution
Sur $]0, 1[$, $x^{-p/3}$ est intégrable si et seulement si $p/3 < 1$, soit $p < 3$. Sur $]1, +\infty[$, il faut $p/3 > 1$, soit $p > 3$. La fonction n'est pas bornée près de $0$, donc pas dans $L^\infty(]0, 1[)$, mais elle est bornée par $1$ sur $]1, +\infty[$ et appartient à $L^\infty(]1, +\infty[)$. Elle n'est dans $L^3$ d'aucun des deux intervalles.
Exercice 2 (Moyenne et moyenne quadratique). Soit $f \in L^2(]0, 1[)$. Montrer que $\left(\int_0^1 f\right)^2 \le \int_0^1 f^2$. Quand y a-t-il égalité ?
Indice
Applique l'inégalité de Hölder (ou de Cauchy–Schwarz) à $f$ et à la fonction constante $1$.
Solution
$\left|\int_0^1 f \cdot 1\right| \le \|f\|_2\,\|1\|_2 = \|f\|_2$, d'où l'inégalité en élevant au carré. L'égalité dans Cauchy–Schwarz a lieu si et seulement si $f$ et $1$ sont colinéaires dans $L^2$, c'est-à-dire si $f$ est constante presque partout.
Exercice 3 (Inclusion sur un espace de mesure finie). Soit $\mu(E) < \infty$ et $1 \le p < q < \infty$. Montrer que $L^q \subseteq L^p$, avec $\|f\|_p \le \mu(E)^{1/p - 1/q}\,\|f\|_q$.
Indice
Applique Hölder à $|f|^p \cdot 1$ avec l'exposant $r = q/p > 1$.
Solution
Avec $r = q/p$ et $r' = \dfrac{q}{q - p}$, Hölder donne $\int |f|^p \le \left(\int |f|^q\right)^{p/q} \mu(E)^{1 - p/q}$. En prenant la puissance $1/p$ : $\|f\|_p \le \|f\|_q\,\mu(E)^{1/p - 1/q}$. Sur un espace de mesure finie, les grands exposants sont donc les plus exigeants.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Pas d’inclusion sur ℝ). Trouver une fonction de $L^1(\R) \setminus L^2(\R)$ et une fonction de $L^2(\R) \setminus L^1(\R)$.
Indice
Une singularité locale nuit au carré ; une queue lente nuit à l'intégrabilité.
Solution
$f(x) = x^{-1/2}\,\mathbf 1_{]0, 1[}(x)$ est intégrable car $1/2 < 1$, mais $f^2 = x^{-1}$ ne l'est pas près de $0$. $g(x) = \dfrac{1}{1 + |x|}$ vérifie $\int g^2 = 2\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dx}{(1 + x)^2} = 2$, alors que $\int g = +\infty$. Sur $\R$, de mesure infinie, aucune inclusion n'a lieu entre $L^1$ et $L^2$.
Exercice 2 (Interpolation des normes). Soit $1 \le p < r < q < \infty$ et $\theta \in ]0, 1[$ tel que $\dfrac1r = \dfrac\theta p + \dfrac{1 - \theta}{q}$. Montrer que $\|f\|_r \le \|f\|_p^\theta\,\|f\|_q^{1 - \theta}$.
Indice
Écris $|f|^r = |f|^{\theta r}\,|f|^{(1 - \theta) r}$ et applique Hölder avec les exposants $\dfrac{p}{\theta r}$ et $\dfrac{q}{(1 - \theta) r}$.
Solution
Les exposants $a = \dfrac{p}{\theta r}$ et $b = \dfrac{q}{(1 - \theta) r}$ vérifient $\dfrac1a + \dfrac1b = r\left(\dfrac\theta p + \dfrac{1 - \theta}{q}\right) = 1$. Hölder donne $\int |f|^r \le \left(\int |f|^p\right)^{\theta r/p} \left(\int |f|^q\right)^{(1 - \theta) r/q}$, puis $\|f\|_r^r \le \|f\|_p^{\theta r}\,\|f\|_q^{(1 - \theta) r}$. On prend la puissance $1/r$.
Exercice 3 (Trois modes de convergence). Sur $[0, 1]$, on pose $f_n = n\,\mathbf 1_{[0, 1/n]}$ et $g_n = \mathbf 1_{[0, 1/n]}$. Étudier la convergence presque partout et dans $L^1$ de $(f_n)$, puis la convergence de $(g_n)$ dans $L^p$ pour $p < \infty$ et dans $L^\infty$.
Indice
Calcule les normes : $\|f_n\|_1$, $\|g_n\|_p$ et $\|g_n\|_\infty$.
Solution
$f_n(x) \to 0$ pour tout $x \in ]0, 1]$, donc presque partout, mais $\|f_n\|_1 = 1$ : pas de convergence vers $0$ dans $L^1$. Pour $g_n$ : $\|g_n\|_p = n^{-1/p} \to 0$, donc $g_n \to 0$ dans $L^p$ pour tout $p < \infty$, alors que $\|g_n\|_\infty = 1$ : pas de convergence dans $L^\infty$. Les modes de convergence ne sont pas équivalents.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (L’inégalité de Minkowski). Soit $1 < p < \infty$ et $f, g \in L^p$. Démontrer que $\|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$ à partir de l'inégalité de Hölder.
On sait déjà que $f + g \in L^p$, car $|f + g|^p \le 2^{p - 1}(|f|^p + |g|^p)$. Hölder donne $\int |f|\,|f + g|^{p - 1} \le \|f\|_p \left(\int |f + g|^{(p - 1)p'}\right)^{1/p'} = \|f\|_p\,\|f + g\|_p^{p - 1}$, et de même pour $g$. Donc $\|f + g\|_p^p \le (\|f\|_p + \|g\|_p)\,\|f + g\|_p^{p - 1}$. Si $\|f + g\|_p = 0$, il n'y a rien à montrer ; sinon on divise par $\|f + g\|_p^{p - 1}$.
Exercice 2 (Une sous-suite qui converge presque partout). Soit $f_n \to f$ dans $L^p$, avec $1 \le p < \infty$. Montrer qu'une sous-suite converge vers $f$ presque partout.
Indice
Choisis $n_k$ croissante avec $\|f_{n_k} - f\|_p \le 2^{-k}$, puis étudie $G = \sum_k |f_{n_k} - f|$.
Solution
Par Minkowski et convergence monotone, $\|G\|_p \le \sum_k 2^{-k} < \infty$, donc $G$ est finie presque partout. En un point où $G(x) < \infty$, le terme général $|f_{n_k}(x) - f(x)|$ de la série tend vers $0$. Ainsi $f_{n_k} \to f$ presque partout. La suite entière peut ne pas converger presque partout.
Exercice 3 (La norme comme supremum). Soit $1 < p < \infty$, $p' = \dfrac{p}{p - 1}$ et $f \in L^p$ non nulle. Montrer que $\|f\|_p = \sup\left\{\left|\int f g\right| : \|g\|_{p'} \le 1\right\}$ et que le supremum est atteint.
Indice
Hölder donne une inégalité. Pour l'autre, essaie $g = \dfrac{|f|^{p - 1} \operatorname{sgn}(f)}{\|f\|_p^{p - 1}}$.
Solution
Hölder donne $\left|\int f g\right| \le \|f\|_p$ dès que $\|g\|_{p'} \le 1$. Avec le $g$ proposé, $\int f g = \dfrac{\int |f|^p}{\|f\|_p^{p - 1}} = \|f\|_p$. De plus $(p - 1)p' = p$, donc $\int |g|^{p'} = \dfrac{\int |f|^p}{\|f\|_p^p} = 1$. Le supremum vaut $\|f\|_p$ et il est atteint. C'est le point de départ de l'identification du dual de $L^p$ à $L^{p'}$.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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