Définition 1 (Fonction mesurable). Une fonction $f : (X, \mathcal{A}) \to \R$ est mesurable si $f^{-1}\big(]a, +\infty[\big) \in \mathcal{A}$ pour tout $a \in \R$.
Définition 2 (Intégrale d'une fonction positive). Pour $f \ge 0$ mesurable, $$\int_X f \, d\mu = \sup\Big\{ \int_X s \, d\mu \;:\; s \text{ étagée},\ 0 \le s \le f \Big\},$$ où, pour $s = \sum_i a_i \mathbf{1}_{A_i}$, on pose $\int s \, d\mu = \sum_i a_i \, \mu(A_i)$.
Théorème 3 (Convergence monotone (Beppo Levi)). Si $(f_n)$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives, alors $$\int_X \lim_{n} f_n \, d\mu = \lim_{n} \int_X f_n \, d\mu.$$
Remarque 4.Formule du gâteau en couches. Pour $f \ge 0$ mesurable, $\displaystyle \int_X f \, d\mu = \int_0^{+\infty} \mu(\{f > s\}) \, ds$. C'est exactement le découpage horizontal de la figure du cours « Théorie de la mesure ».
Vérifie ta compréhension. On pose $f_n = n \, \mathbf{1}_{]0, 1/n[}$ sur $[0,1]$. Que vaut $\lim_n \int f_n \, d\lambda$ ?
$0$
$1$
$+\infty$
Réponse
Bonne réponse : B.
$\int f_n = n \cdot \tfrac1n = 1$ pour tout $n$, alors que $f_n \to 0$ en tout point. La convergence dominée ne s'applique pas : aucune fonction intégrable ne domine toutes les $f_n$.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Intégrer une fonction étagée). Soit $f = 2 \cdot \mathbf 1_{[0, 1]} + 3 \cdot \mathbf 1_{[1/2, 2]}$. Écrire $f$ comme combinaison d'indicatrices d'ensembles disjoints, puis calculer $\int f\,d\lambda$.
Indice
Découpe $[0, 2]$ selon les valeurs prises par $f$.
Solution
$f = 2$ sur $[0, 1/2[$, $f = 5$ sur $[1/2, 1]$ et $f = 3$ sur $]1, 2]$. Donc $\int f\,d\lambda = 2 \times \dfrac12 + 5 \times \dfrac12 + 3 \times 1 = 6{,}5$. On retrouve la linéarité : $2 \times 1 + 3 \times \dfrac32 = 6{,}5$.
Exercice 2 (Comparer deux fonctions mesurables). Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables à valeurs réelles. Montrer que $\{f < g\}$ est mesurable.
Indice
Entre deux réels distincts, il y a toujours un rationnel.
Solution
$f(x) < g(x)$ si et seulement s'il existe $q \in \Q$ avec $f(x) < q < g(x)$. Donc $\{f < g\} = \bigcup_{q \in \Q} \left(\{f < q\} \cap \{q < g\}\right)$, réunion dénombrable d'ensembles mesurables : il est mesurable.
Exercice 3 (Une intégrale nulle). Soit $f \ge 0$ mesurable telle que $\int f\,d\mu = 0$. Montrer que $f = 0$ presque partout.
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (L’inégalité de Markov). Soit $f \ge 0$ mesurable et $t > 0$. Montrer que $\mu(\{f \ge t\}) \le \dfrac1t \int f\,d\mu$. En déduire que si $\int f\,d\mu < \infty$, alors $f$ est finie presque partout.
Indice
Compare $f$ et $t\,\mathbf 1_{\{f \ge t\}}$.
Solution
On a $t\,\mathbf 1_{\{f \ge t\}} \le f$ ; en intégrant, $t\,\mu(\{f \ge t\}) \le \int f\,d\mu$. Ensuite $\{f = +\infty\} \subseteq \{f \ge n\}$ pour tout $n$, donc $\mu(\{f = +\infty\}) \le \dfrac1n \int f\,d\mu \to 0$.
Exercice 2 (Une série de fonctions positives). À l'aide du théorème de Beppo Levi pour les séries, montrer que $\displaystyle\int_0^1 \frac{\ln x}{x - 1}\,dx = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}$. On admet que $\displaystyle\int_0^1 -x^n \ln x\,dx = \frac{1}{(n + 1)^2}$.
Indice
Pour $0 < x < 1$, $\dfrac{1}{1 - x} = \sum_{n \ge 0} x^n$ et $-\ln x > 0$.
Solution
Pour $0 < x < 1$, $\dfrac{\ln x}{x - 1} = \dfrac{-\ln x}{1 - x} = \sum_{n \ge 0} (-x^n \ln x)$, série de fonctions positives. Beppo Levi permet d'intervertir somme et intégrale : $\displaystyle\int_0^1 \frac{\ln x}{x - 1}\,dx = \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(n + 1)^2} = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}$, qui vaut $\dfrac{\pi^2}{6}$.
Exercice 3 (Le lemme de Fatou). Rappeler l'énoncé du lemme de Fatou pour des fonctions mesurables positives. Avec $f_n = \mathbf 1_{[n, n + 1]}$ sur $\R$, montrer que l'inégalité peut être stricte.
Indice
Calcule $\liminf f_n$ point par point.
Solution
Fatou : $\int \liminf f_n\,d\mu \le \liminf \int f_n\,d\mu$. Ici, pour tout $x$ réel, $f_n(x) = 0$ dès que $n > x$, donc $\liminf f_n = 0$ et $\int \liminf f_n = 0$. Mais $\int f_n = 1$ pour tout $n$ : l'inégalité est stricte, $0 < 1$. La masse « part à l'infini ».
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Intégrabilité des puissances). Pour $a > 0$, déterminer pour quelles valeurs de $a$ la fonction $x \mapsto x^{-a}$ est intégrable sur $]0, 1]$, puis sur $[1, +\infty[$.
Indice
Applique la convergence monotone à $f\,\mathbf 1_{[1/n, 1]}$, dont l'intégrale se calcule par primitive.
Solution
Pour $a \ne 1$, $\displaystyle\int_{1/n}^1 x^{-a}\,dx = \frac{1 - n^{a - 1}}{1 - a}$, qui tend vers $\dfrac{1}{1 - a}$ si $a < 1$ et vers $+\infty$ si $a > 1$. Pour $a = 1$, on obtient $\ln n \to +\infty$. Par convergence monotone, $x^{-a}$ est intégrable sur $]0, 1]$ si et seulement si $a < 1$. Sur $[1, n]$, l'intégrale vaut $\dfrac{n^{1 - a} - 1}{1 - a}$ (ou $\ln n$ si $a = 1$) : intégrable sur $[1, +\infty[$ si et seulement si $a > 1$.
Exercice 2 (Retrouver l’exponentielle). On pose $f_n(x) = \left(1 - \dfrac xn\right)^n \mathbf 1_{[0, n]}(x)$. Montrer que $(f_n)$ est croissante, puis que $\displaystyle\lim_n \int_0^n \left(1 - \frac xn\right)^n dx = 1$.
Indice
Pour $x$ fixé, étudie $\varphi(s) = s \ln(1 - x/s)$ pour $s > x$ ; on peut utiliser $\ln(1 - u) \ge -\dfrac{u}{1 - u}$ pour $u \in [0, 1[$.
Solution
$\varphi'(s) = \ln(1 - x/s) + \dfrac{x/s}{1 - x/s} \ge 0$ d'après l'inégalité rappelée avec $u = x/s$ : $\varphi$ croît, donc $f_n(x) \le f_{n + 1}(x)$ quand $x < n$ ; pour $n \le x \le n+1$, $f_n(x) = 0 \le f_{n+1}(x)$. De plus $f_n(x) \to e^{-x}$. Par convergence monotone, $\int f_n \to \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx = 1$. Direct : $\int_0^n (1 - x/n)^n\,dx = \dfrac{n}{n + 1} \to 1$.
Exercice 3 (Une mesure à densité). Soit $f \ge 0$ mesurable sur $(E, \mathcal A, \mu)$. On pose $\nu(A) = \int_A f\,d\mu$. Montrer que $\nu$ est une mesure, puis que $\int g\,d\nu = \int g f\,d\mu$ pour toute fonction mesurable $g \ge 0$.
Indice
Pour la $\sigma$-additivité, écris $\mathbf 1_{\bigsqcup A_n} f = \sum_n \mathbf 1_{A_n} f$. Pour la formule, commence par les indicatrices.
Solution
$\nu(\emptyset) = 0$ et, pour des $A_n$ disjoints, Beppo Levi pour les séries positives donne $\nu\left(\bigsqcup A_n\right) = \int \sum_n \mathbf 1_{A_n} f\,d\mu = \sum_n \nu(A_n)$. La formule $\int g\,d\nu = \int g f\,d\mu$ est vraie pour $g = \mathbf 1_A$ par définition, puis pour les fonctions étagées positives par linéarité. Pour $g \ge 0$ mesurable, on prend des fonctions étagées $g_k \uparrow g$ : la convergence monotone, appliquée de chaque côté (à $g_k$ et à $g_k f \uparrow g f$), conclut.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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