Mathventure
Opérations sur les matrices
Définition 1 (Matrice et produit matriciel). Une matrice de $M_{m,n}(\R)$ est un tableau de $m$ lignes et $n$ colonnes. Les matrices de même taille s'additionnent coefficient par coefficient. Si $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(\R)$ et $B=(b_{jk})\in M_{n,p}(\R)$, le produit $AB\in M_{m,p}(\R)$ est défini par $$ (AB)_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}. $$ On multiplie donc une ligne de $A$ par une colonne de $B$. La matrice identité $I_n$ vérifie $AI_n=I_nA=A$ pour toute matrice carrée d'ordre $n$.
Proposition 2 (Règles de calcul). Lorsque les tailles permettent les opérations, le produit est associatif et distributif : $(AB)C=A(BC)$ et $A(B+C)=AB+AC$. En général, $AB\ne BA$. Même lorsque les deux produits existent et ont la même taille, leur égalité doit être démontrée.
Exemple 3 (Une première multiplication). Pour $$ A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}, $$ on obtient $AX=\begin{pmatrix}3-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$. Le produit $XA$ n'est pas défini : le nombre de colonnes de $X$ ne correspond pas au nombre de lignes de $A$.
Exercice 4 (Deux produits à comparer). Soient $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}$. Calculer $AB$ et $BA$. Les deux matrices commutent-elles ?
Indice
Calcule séparément les quatre coefficients de chaque produit. Par exemple, le coefficient en ligne 1 et colonne 1 de $AB$ vaut $1\times2+2\times1$.
Solution
Le produit ligne-colonne donne $$ AB=\begin{pmatrix}1\times2+2\times1&1\times0+2\times3\\0\times2+1\times1&0\times0+1\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&6\\1&3\end{pmatrix}. $$ Dans l'autre sens, $$ BA=\begin{pmatrix}2\times1+0\times0&2\times2+0\times1\\1\times1+3\times0&1\times2+3\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\1&5\end{pmatrix}. $$ Les coefficients $(1,1)$ diffèrent, donc $AB\ne BA$ : $A$ et $B$ ne commutent pas.
Inverses et systèmes linéaires
Définition 5 (Matrice inversible). Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible s'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$. Si elle existe, l'inverse est unique. Pour un système $AX=B$ avec $A$ inversible, l'unique solution est $X=A^{-1}B$.
En pratique, le pivot de Gauss transforme les lignes d'un système par des opérations réversibles : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un réel non nul, ajouter à une ligne un multiple d'une autre. On conserve ainsi exactement les solutions.
Proposition 6 (Inverse en taille 2 et pivots). Pour $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, on pose $\det A=ad-bc$. Si $ad-bc\ne0$, $$ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. $$ Pour une matrice carrée de toute taille, obtenir un pivot non nul dans chaque colonne par élimination de Gauss garantit l'inversibilité. Réduire le tableau augmenté $(A\mid I_n)$ en $(I_n\mid C)$ donne alors $C=A^{-1}$.
Preuve (Vérification en taille 2)
La multiplication donne $$ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}. $$ Le produit dans l'autre ordre donne le même résultat. Diviser par $ad-bc\ne0$ fournit les deux égalités requises pour l'inverse.
∎
Exercice 7 (Résoudre par élimination). Résoudre dans $\R^3$ le système $$ \begin{cases}x+y+z=2,\\x+2y+3z=3,\\2x+3y+5z=5.\end{cases} $$ Justifier l'unicité de la solution.
Indice
Effectue $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-2L_1$, puis élimine $y$ de la troisième ligne.
Solution
Les deux premières opérations, appliquées aussi aux seconds membres, donnent $$ \begin{cases}x+y+z=2,\\y+2z=1,\\y+3z=1.\end{cases} $$ Avec $L_3\leftarrow L_3-L_2$, la dernière équation devient $z=0$. On remonte : $y=1$ puis $x=1$. Ainsi $(x,y,z)=(1,1,0)$.
Les trois pivots valent $1$ : aucune variable n'est libre et les opérations sont réversibles, donc la solution est unique. Vérification dans le système initial : $1+1=2$, $1+2=3$ et $2+3=5$.
Puissances et matrices nilpotentes
Définition 8 (Nilpotence). Une matrice carrée $N$ est nilpotente s'il existe un entier $r\ge1$ tel que $N^r=0$. Par exemple, $$ N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad N^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad N^3=0. $$ Les produits de polynômes en une même matrice se calculent comme les produits de polynômes usuels, car les puissances de cette matrice commutent.
Proposition 9 (Une famille de matrices inversibles). Si $N^3=0$ et $E(t)=I+tN+\frac{t^2}{2}N^2$, alors, pour tous réels $s,t$, $$ E(s)E(t)=E(s+t). $$ Donc $E(t)^{-1}=E(-t)$ et, pour tout entier $n\ge0$, $E(t)^n=E(nt)$.
Preuve
En développant, les termes en $N^3$ et $N^4$ disparaissent. Il reste $$ I+(s+t)N+\left(\frac{s^2}{2}+st+\frac{t^2}{2}\right)N^2=E(s+t). $$ Prendre $s=-t$ donne les deux produits égaux à $E(0)=I$. La formule des puissances suit par récurrence, en partant de $E(t)^0=I=E(0)$.
∎
Exercice 10 (Calculer une inverse et toutes les puissances). On prend la matrice $N$ de l'exemple précédent et $$ U=\begin{pmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}. $$ Écrire $U$ en fonction de $N$, puis calculer $U^{-1}$ et $U^n$ pour tout entier $n\ge0$.
Indice
Reconnais $E(2)=I+2N+2N^2$. Attention : le terme quadratique de $E(-2)$ reste positif.
Solution
Comme $N^2$ n'a qu'un coefficient non nul, en position $(1,3)$, on a $U=I+2N+2N^2=E(2)$. La relation $N^3=0$ permet donc d'écrire $$ U^{-1}=E(-2)=I-2N+2N^2=\begin{pmatrix}1&-2&2\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}. $$ Pour tout $n\ge0$, $$ U^n=E(2n)=I+2nN+2n^2N^2=\begin{pmatrix}1&2n&2n^2\\0&1&2n\\0&0&1\end{pmatrix}. $$ Pour contrôler l'inverse, le coefficient $(1,3)$ de $UU^{-1}$ vaut $2-4+2=0$ ; les coefficients $(1,2)$ et $(2,3)$ valent aussi $0$, et la diagonale vaut $1$. La formule des puissances donne bien $I$ pour $n=0$ et $U$ pour $n=1$.
Vérifie ta compréhension. Une matrice carrée $A$ vérifie $A^2-A=2I$. Quelle est son inverse ?
- $\frac12(A-I)$
- $\frac12(A+I)$
- $A-I$
Réponse
Bonne réponse : A.
La relation se réécrit $A(A-I)=(A-I)A=2I$. En divisant par $2$, on obtient les deux produits égaux à $I$, donc $A^{-1}=\frac12(A-I)$.