Définition 1 (Lois de Snell-Descartes). Les angles se mesurent par rapport à la normale à la surface. Pour la réflexion, l'angle réfléchi égale l'angle incident. Pour la réfraction entre deux milieux d'indices $n_1$ et $n_2$, $n_1\sin i=n_2\sin r$. Dans un milieu homogène transparent, la lumière se propage en ligne droite.
Exercice 2 (De l’air au verre). Un rayon passe de l'air, d'indice $n_1=1$, au verre, d'indice $n_2=1{,}5$, avec une incidence de $30^\circ$. Calculer l'angle réfracté et préciser si le rayon se rapproche de la normale.
Indice
Calcule d'abord $\sin r=(n_1/n_2)\sin i$.
Solution
$\sin r=(1/1{,}5)\sin30^\circ=(2/3)(1/2)=1/3$. Donc $r=\arcsin(1/3)\simeq19{,}47^\circ$. Comme $r<30^\circ$, le rayon se rapproche de la normale. Les deux angles sont mesurés à partir de cette normale, et non à partir de la surface.
Lentilles minces dans les conditions de Gauss
Définition 3 (Conjugaison et grandissement). On oriente l'axe optique dans le sens de propagation et on mesure les distances algébriques depuis le centre $O$. Pour une lentille mince, $1/\overline{OA'}-1/\overline{OA}=1/f'$, où $f'=\overline{OF'}$. Le grandissement est $\gamma=\overline{OA'}/\overline{OA}$. Une lentille convergente possède $f'>0$ ; un objet réel placé avant elle possède $\overline{OA}<0$.
Exemple 4 (Construire une image). Un rayon parallèle à l'axe sort en passant par le foyer image d'une lentille convergente ; un rayon passant par le centre optique n'est pas dévié dans le modèle mince. Leur intersection détermine l'image. Les conditions de Gauss supposent des rayons proches de l'axe et faiblement inclinés.
Exercice 5 (Une image réelle et renversée). Une lentille convergente a une distance focale $f'=10$ cm. Un objet de hauteur $2$ cm est placé $30$ cm devant elle. Déterminer la position, la nature et la hauteur algébrique de l'image.
Indice
Avec la convention du cours, $\overline{OA}=-30$ cm. Attention au signe dans la formule de conjugaison.
Solution
La relation donne $1/\overline{OA'}+1/30=1/10$, donc $1/\overline{OA'}=1/15$ et $\overline{OA'}=15$ cm. L'image est réelle puisqu'elle se forme après la lentille. Le grandissement vaut $\gamma=15/(-30)=-1/2$ ; sa hauteur algébrique est donc $-1$ cm. Le signe négatif signifie que l'image est renversée ; sa taille est $1$ cm.
Vérifie ta compréhension. Dans les lois de la réfraction, par rapport à quoi mesure-t-on les angles ?
À la surface
À la normale à la surface
À l’axe horizontal dans tous les cas
Réponse
Bonne réponse : B.
La normale est la droite perpendiculaire à la surface au point d’incidence. Confondre angle à la normale et angle à la surface donne des résultats faux.
Remarque 6 (Repères du parcours L1). Les modules transversaux regroupent plusieurs UE ; les durées proposées sont des repères de travail personnel.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (La réflexion). Un rayon arrive sur un miroir plan avec un angle d'incidence de $35^\circ$, mesuré par rapport à la normale. Donner l'angle de réflexion, puis la déviation du rayon.
Indice
L'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence. La déviation est l'angle dont le rayon a tourné.
Solution
L'angle de réflexion vaut $35^\circ$. Le rayon réfléchi fait avec le rayon incident prolongé un angle $D=180^\circ-2\times35^\circ=110^\circ$.
Exercice 2 (Indice et vitesse de la lumière). L'eau a un indice $n=1{,}33$. Calculer la vitesse de la lumière dans l'eau, avec $c=3{,}00\times10^8$ m/s.
Indice
$n=\dfrac cv$.
Solution
$v=\dfrac{c}{n}=\dfrac{3{,}00\times10^8}{1{,}33}\simeq2{,}26\times10^8$ m/s. Un indice plus grand signifie une lumière plus lente.
Exercice 3 (La vergence d’une lentille). Une lentille convergente a une distance focale image $f'=20$ cm. Calculer sa vergence.
Indice
$V=\dfrac{1}{f'}$ avec $f'$ en mètres ; l'unité est la dioptrie ($\delta$).
Solution
$V=\dfrac{1}{0{,}20}=5\ \delta$. Une lentille divergente aurait une vergence négative.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (La réflexion totale). Un rayon passe du verre ($n_1=1{,}5$) vers l'air ($n_2=1$). Calculer l'angle limite de réfraction. Que se passe-t-il pour une incidence de $45^\circ$ ?
Indice
À l'angle limite, l'angle réfracté vaut $90^\circ$ : $n_1\sin i_\ell=n_2$.
Solution
$\sin i_\ell=\dfrac{1}{1{,}5}$, donc $i_\ell\simeq41{,}8^\circ$. Pour $45^\circ>i_\ell$, il faudrait $\sin r=1{,}5\sin45^\circ\simeq1{,}06>1$ : il n'y a pas de rayon réfracté, la lumière est totalement réfléchie. C'est le principe des fibres optiques.
Exercice 2 (Le principe de la loupe). Un objet est placé à $5$ cm devant une lentille convergente de focale $f'=10$ cm. Déterminer la position et la nature de l'image, puis le grandissement.
Indice
Avec des mesures algébriques, $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}$ et $\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$, avec $\overline{OA}=-5$ cm.
Solution
$\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{1}{10}-\dfrac15=-\dfrac{1}{10}$, donc $\overline{OA'}=-10$ cm : l'image est virtuelle, du même côté que l'objet. $\gamma=\dfrac{-10}{-5}=2$ : elle est droite et deux fois plus grande. Un objet placé entre le foyer objet et la lentille donne cette image agrandie.
Exercice 3 (Une lame à faces parallèles). Un rayon traverse une lame de verre à faces parallèles placée dans l'air. Montrer que le rayon émergent est parallèle au rayon incident.
Indice
Écris la loi de Snell-Descartes sur chaque face ; les deux normales sont parallèles.
Solution
Entrée : $\sin i=n\sin r$. Les faces étant parallèles, l'angle d'incidence sur la seconde face vaut $r$. Sortie : $n\sin r=\sin i'$. Donc $\sin i'=\sin i$ et $i'=i$ : le rayon ressort parallèle à sa direction d'entrée, simplement décalé latéralement.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Deux lentilles accolées). On accole une lentille convergente de focale $10$ cm et une lentille divergente de focale $-20$ cm. Calculer la vergence et la focale du système.
Indice
Pour des lentilles minces accolées, les vergences s'ajoutent.
Solution
$V=\dfrac{1}{0{,}10}+\dfrac{1}{-0{,}20}=10-5=5\ \delta$, donc $f'=20$ cm : le système reste convergent, mais moins que la première lentille seule.
Exercice 2 (Une profondeur apparente). Un caillou repose au fond d'une eau calme de $1$ m de profondeur ($n=1{,}33$). Vu presque à la verticale, à quelle profondeur semble-t-il se trouver ?
Indice
Pour de petits angles, $\sin\theta\simeq\tan\theta\simeq\theta$. Écris la loi de Snell-Descartes à la surface pour un rayon issu du caillou.
Solution
Un rayon issu du caillou, faisant un petit angle $r$ avec la verticale, ressort avec un angle $i\simeq nr$. Il touche la surface à la distance $h\tan r\simeq hr$ de la verticale ; l'œil le prolonge jusqu'à la profondeur $h'$ telle que $h'\tan i=h\tan r$. D'où $h'\simeq\dfrac hn=\dfrac{1}{1{,}33}\simeq0{,}75$ m : le fond paraît plus proche qu'il ne l'est.
Exercice 3 (La distance minimale entre un objet et son image). Avec une lentille convergente de focale $f'$, on veut former sur un écran l'image réelle d'un objet réel. Montrer que la distance $D$ entre l'objet et l'écran doit vérifier $D\ge4f'$.
Indice
Pose $p=-\overline{OA}>0$ et $p'=\overline{OA'}>0$. Alors $D=p+p'$ et $\dfrac1p+\dfrac{1}{p'}=\dfrac{1}{f'}$.
Solution
De $\dfrac{p+p'}{pp'}=\dfrac{1}{f'}$, on tire $pp'=f'D$. Ainsi $p$ et $p'$ sont les racines de $X^2-DX+f'D=0$. Des racines réelles existent si et seulement si $D^2-4f'D\ge0$, soit $D\ge4f'$. Pour $D=4f'$, on trouve $p=p'=2f'$ et un grandissement de $-1$.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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