Mathventure
Lois de composition et groupes
Définition 1 (Groupe et groupe abélien). Une loi de composition interne sur $G$ est une application $G\times G\to G$, notée $(x,y)\mapsto x\star y$.
Un groupe est un ensemble $G$ muni d'une telle loi satisfaisant :
- l'associativité : $(x\star y)\star z=x\star(y\star z)$ ;
- l'existence d'un neutre $e$ : $e\star x=x\star e=x$ ;
- l'existence, pour chaque $x$, d'un inverse $x^{-1}$ : $x\star x^{-1}=x^{-1}\star x=e$.
Le groupe est abélien si $x\star y=y\star x$ pour tous $x,y$. Le neutre et l'inverse de chaque élément sont uniques.
Exemple 2 (L'ensemble et la loi sont indissociables). $(\Z,+)$ est un groupe abélien : le neutre est $0$ et l'inverse additif de $n$ est $-n$. L'ensemble $\R^*=\R\setminus\{0\}$ muni de la multiplication est un groupe abélien : son neutre est $1$ et l'inverse de $x$ est $1/x$.
En revanche, $(\Z,\times)$ n'est pas un groupe : $2$ n'a pas d'inverse multiplicatif entier. L'ensemble $\N$ muni de l'addition n'est pas un groupe non plus, car un entier strictement positif n'y possède pas d'opposé.
Proposition 3 (Simplification dans un groupe). Dans un groupe, $a\star x=a\star y$ implique $x=y$ : il suffit de composer à gauche par $a^{-1}$ et d'utiliser l'associativité. De même, on peut simplifier à droite. L'équation $a\star x=b$ possède l'unique solution $x=a^{-1}\star b$. Dans un groupe non commutatif, l'ordre des facteurs doit être respecté.
Exercice 4 (Une loi transportée depuis la multiplication). Sur $G=\R\setminus\{-1\}$, on définit $x\star y=x+y+xy$. Vérifier que la loi est interne, puis montrer que $(G,\star)$ est un groupe abélien. Déterminer son neutre et l'inverse d'un élément $x$.
Indice
L'identité $1+(x\star y)=(1+x)(1+y)$ donne à la fois la stabilité et un lien avec le groupe $(\R^*,\times)$. Résous ensuite $x\star y=0$.
Solution
Si $x,y\ne-1$, alors $(1+x)(1+y)\ne0$. Comme $1+(x\star y)=(1+x)(1+y)$, on a $x\star y\ne-1$ : la loi est interne.
Définissons $\varphi:G\to\R^*$ par $\varphi(x)=1+x$. Cette application est bijective, d'inverse $t\mapsto t-1$, et vérifie $\varphi(x\star y)=\varphi(x)\varphi(y)$. Pour $x,y,z\in G$, l'associativité de la multiplication donne $$\varphi((x\star y)\star z)=\varphi(x)\varphi(y)\varphi(z)=\varphi(x\star(y\star z)).$$ L'injectivité de $\varphi$ permet de conclure à l'associativité de $\star$.
Le neutre est $0$, car $x\star0=0\star x=x$. L'équation $x\star y=0$ devient $x+(1+x)y=0$, donc $y=-x/(1+x)$. Cet élément appartient à $G$, car $1+y=1/(1+x)\ne0$, et il est un inverse à gauche comme à droite. Enfin $x+y+xy=y+x+yx$, donc la loi est commutative. Toutes les propriétés d'un groupe abélien sont vérifiées.
Sous-groupes et morphismes
Définition 5 (Sous-groupe et morphisme de groupes). Une partie $H\subseteq G$ est un sous-groupe si la loi de $G$, restreinte à $H$, en fait un groupe.
Un morphisme de groupes $f:(G,\star)\to(K,\circ)$ vérifie $f(x\star y)=f(x)\circ f(y)$. Il envoie le neutre sur le neutre et les inverses sur les inverses. Son noyau est $\ker f=\{x\in G:f(x)=e_K\}$ et son image est $\operatorname{Im}f=\{f(x):x\in G\}$.
Théorème 6 (Critères utiles). Une partie non vide $H$ d'un groupe $G$ est un sous-groupe si et seulement si $x\star y^{-1}\in H$ pour tous $x,y\in H$.
Le noyau d'un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ ; son image est un sous-groupe du groupe d'arrivée. Un morphisme $f$ est injectif si et seulement si $\ker f=\{e_G\}$. Il est surjectif si et seulement si son image est tout le groupe d'arrivée.
Preuve (Injectivité et noyau)
Si $f$ est injectif et $f(x)=e_K=f(e_G)$, alors $x=e_G$ : le noyau est réduit au neutre.
Réciproquement, si $\ker f=\{e_G\}$ et $f(x)=f(y)$, alors $f(x\star y^{-1})=f(x)\circ f(y)^{-1}=e_K$. Ainsi $x\star y^{-1}=e_G$, donc $x=y$ : $f$ est injectif.
∎
Définition 7 (Congruence et classes modulo n). Pour un entier $n\ge2$, on écrit $a\equiv b\pmod n$ si $n$ divise $a-b$. C'est une relation d'équivalence sur $\Z$. La classe $[a]$ contient les entiers congrus à $a$ ; l'ensemble des classes est $\Z/n\Z=\{[0],\ldots,[n-1]\}$.
L'addition $[a]+[b]=[a+b]$ est bien définie : changer les représentants ne change pas la classe obtenue. Elle fait de $\Z/n\Z$ un groupe abélien, de neutre $[0]$ et d'opposé $[-a]$ pour $[a]$.
Exercice 8 (Noyau et image dans un groupe fini). On considère le morphisme additif $f:\Z\to\Z/6\Z$ défini par $f(k)=[2k]$. Vérifier que c'est un morphisme, déterminer son noyau et son image, puis décider s'il est injectif ou surjectif.
Indice
Le noyau se calcule en résolvant $6\mid2k$. Pour l'image, les valeurs de $k$ modulo $3$ suffisent. L'injectivité compare le noyau à $\{0\}$.
Solution
Pour $k,\ell\in\Z$, $f(k+\ell)=[2k+2\ell]=[2k]+[2\ell]=f(k)+f(\ell)$ : $f$ est un morphisme des groupes additifs.
Un entier $k$ est dans le noyau si $[2k]=[0]$, c'est-à-dire si $6\mid2k$. Cela équivaut à $3\mid k$, donc $\ker f=3\Z$.
Tout entier s'écrit $k=3q+r$ avec $r\in\{0,1,2\}$. Ainsi $[2k]=[2r]$, et les trois possibilités sont $[0]$, $[2]$ et $[4]$. Chacune est atteinte pour $k=0,1,2$ : $\operatorname{Im}f=\{[0],[2],[4]\}$.
Le morphisme n'est pas injectif puisque $3\in\ker f$ et $3\ne0$. Il n'est pas surjectif non plus, puisque, par exemple, $[1]$ n'est pas dans son image.
Anneaux, corps et calcul modulo un entier
Définition 9 (Anneau, unité et corps). Un anneau unitaire $(A,+,\times)$ possède un groupe abélien $(A,+)$, une multiplication associative avec un neutre $1$, et les deux distributivités de la multiplication sur l'addition. Il est commutatif si sa multiplication est commutative.
Une unité est un élément qui possède un inverse multiplicatif. Dans un anneau commutatif non nul, un diviseur de zéro est un élément $a\ne0$ tel qu'il existe $b\ne0$ avec $ab=0$.
Un corps est un anneau commutatif avec $0\ne1$ dans lequel tout élément non nul est une unité. Les ensembles $\Q$, $\R$ et $\C$ avec leurs opérations usuelles sont des corps. L'anneau $\Z$ n'est pas un corps : $2$ n'y est pas une unité.
Théorème 10 (Unités de Z/nZ). Dans l'anneau $\Z/n\Z$, avec $n\ge2$, la classe $[a]$ est inversible si et seulement si $\gcd(a,n)=1$.
En effet, l'identité de Bézout $au+nv=1$ fournit $[a][u]=[1]$. Réciproquement, si $[a][u]=[1]$, alors $au-1$ est un multiple de $n$, ce qui donne une identité de Bézout et impose $\gcd(a,n)=1$.
Par conséquent, $\Z/n\Z$ est un corps si et seulement si $n$ est premier. Si $n=rs$ avec $1<r,s<n$, les classes non nulles $[r]$ et $[s]$ ont un produit nul.
Exemple 11 (Calculer un inverse avec Bézout). Dans $\Z/7\Z$, $3\times5-2\times7=1$. En passant aux classes, $[3][5]=[1]$ : l'inverse de $[3]$ est $[5]$. Comme $7$ est premier, chaque classe non nulle est inversible. La division par $[3]$ se fait donc en multipliant par $[5]$.
Exercice 12 (Unités et diviseurs de zéro modulo 8). Dans $A=\Z/8\Z$, dresser la liste des unités et donner leur inverse. Déterminer les diviseurs de zéro non nuls. L'anneau $A$ est-il un corps ? Comparer avec $\Z/7\Z$.
Indice
Une classe est inversible lorsque son représentant est premier avec $8$. Calcule les carrés des représentants impairs. Pour chaque classe paire non nulle, cherche un facteur non nul qui annule son produit.
Solution
Par le critère du PGCD, les unités sont exactement $[1]$, $[3]$, $[5]$ et $[7]$. Leurs carrés valent respectivement $[1]$, $[9]=[1]$, $[25]=[1]$ et $[49]=[1]$. Chaque unité est donc son propre inverse.
Les classes paires non nulles sont $[2]$, $[4]$ et $[6]$. Elles sont des diviseurs de zéro, car $[2][4]=[8]=[0]$, $[4][2]=[0]$ et $[6][4]=[24]=[0]$, avec des facteurs tous non nuls.
Il n'existe pas d'autre diviseur de zéro non nul : les autres classes non nulles sont des unités, et si $ub=0$ avec $u$ inversible, multiplier par $u^{-1}$ impose $b=0$.
L'anneau $\Z/8\Z$ n'est pas un corps puisque, par exemple, $[2]$ n'est pas inversible. En revanche, $\Z/7\Z$ est un corps car $7$ est premier ; il ne possède aucun diviseur de zéro non nul.
Vérifie ta compréhension. Dans $\Z/6\Z$, que peut-on affirmer de la classe $[2]$ ?
- Elle est inversible
- Elle est un diviseur de zéro non nul
- Elle est égale à la classe nulle
Réponse
Bonne réponse : B.
On a $[2][3]=[6]=[0]$ et les classes $[2]$ et $[3]$ sont non nulles. La classe $[2]$ est donc un diviseur de zéro. Elle n'est pas inversible puisque $\gcd(2,6)=2\ne1$.