Définition 1 (Dérivée faible). Soit $\Omega \subset \R^n$ un ouvert et $u \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$. On dit que $v \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ est la dérivée faible $\partial_i u$ si $$\int_\Omega u \, \partial_i \varphi \, dx = -\int_\Omega v \, \varphi \, dx \qquad \text{pour toute } \varphi \in C_c^\infty(\Omega).$$
Exemple 2. $u(x) = |x|$ n'est pas dérivable en $0$, mais sur $]-1, 1[$ elle admet la dérivée faible $u'(x) = \operatorname{sgn}(x)$. En revanche, la fonction de Heaviside $\mathbf{1}_{x > 0}$ n'a pas de dérivée faible dans $L^1_{\mathrm{loc}}$ : sa dérivée au sens des distributions est la masse de Dirac $\delta_0$.
Définition 3 (Espace H¹). $$H^1(\Omega) = \big\{ u \in L^2(\Omega) \;:\; \nabla u \in L^2(\Omega)^n \big\}, \qquad \langle u, v \rangle_{H^1} = \int_\Omega u v \, dx + \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx.$$ C'est un espace de Hilbert. On note $H^1_0(\Omega)$ l'adhérence de $C_c^\infty(\Omega)$ dans $H^1(\Omega)$ : les fonctions « nulles au bord ».
Théorème 4 (Inégalité de Poincaré). Si $\Omega$ est borné, il existe $C_\Omega > 0$ telle que $\|u\|_{L^2(\Omega)} \le C_\Omega \, \|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}$ pour tout $u \in H^1_0(\Omega)$.
Théorème 5 (Lax–Milgram). Soit $a$ une forme bilinéaire continue et coercive sur un espace de Hilbert $H$ (il existe $\alpha > 0$ tel que $a(v,v) \ge \alpha \|v\|^2$), et soit $\ell \in H'$. Il existe un unique $u \in H$ tel que $a(u, v) = \ell(v)$ pour tout $v \in H$.
Vérifie ta compréhension. La fonction de Heaviside $\mathbf{1}_{x > 0}$ appartient-elle à $H^1(-1, 1)$ ?
Oui
Non : sa dérivée faible serait $\delta_0$, qui n'est pas une fonction de $L^2$
Réponse
Bonne réponse : B.
En dimension 1, toute fonction de $H^1$ admet un représentant continu : un saut est donc impossible.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (La dérivée faible de la valeur absolue). Sur $]-1, 1[$, montrer que $u(x) = |x|$ admet pour dérivée faible la fonction signe $s(x) = -1$ si $x < 0$, $s(x) = 1$ si $x > 0$.
Indice
Pour $\varphi \in C_c^\infty(]-1, 1[)$, coupe l'intégrale $\int |x|\,\varphi'(x)\,dx$ en $0$ et intègre par parties sur chaque morceau.
Solution
$\displaystyle\int_{-1}^0 (-x)\varphi'(x)\,dx = [-x\varphi(x)]_{-1}^0 + \int_{-1}^0 \varphi = \int_{-1}^0 \varphi$, car $\varphi(-1) = 0$. De même, $\displaystyle\int_0^1 x\,\varphi'(x)\,dx = -\int_0^1 \varphi$. Donc $\int |x|\,\varphi' = -\int s\,\varphi$ : $s$ est la dérivée faible de $|x|$. Les termes de bord en $0$ se compensent car $u$ est continue.
Exercice 2 (Heaviside n’est pas dans H¹). Soit $H = \mathbf 1_{]0, 1[}$ sur $]-1, 1[$. Montrer que $H$ n'admet pas de dérivée faible dans $L^1_{\mathrm{loc}}(]-1, 1[)$.
Indice
Suppose qu'une telle dérivée $g$ existe et teste d'abord avec des fonctions $\varphi$ nulles près de $0$.
Solution
Pour $\varphi \in C_c^\infty(]-1, 1[)$, $\int H\,\varphi' = \int_0^1 \varphi' = -\varphi(0)$. Si $g$ existait, on aurait $\int g\,\varphi = \varphi(0)$ pour tout $\varphi$. Avec $\varphi$ à support dans $]-1, 0[$ ou dans $]0, 1[$, on obtient $\int g\,\varphi = 0$, donc $g = 0$ presque partout. Mais alors $\varphi(0) = 0$ pour toute fonction test, ce qui est faux. Une fonction de $H^1$ en dimension $1$ ne peut pas sauter.
Exercice 3 (Calculer une norme H¹). Calculer $\|u\|_{H^1(]0, 1[)}$ pour $u(x) = x(1 - x)$, avec $\|u\|_{H^1}^2 = \int u^2 + \int u'^2$.
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Poincaré en dimension un). Soit $u \in C^1([0, 1])$ avec $u(0) = 0$. Montrer que $|u(x)| \le \sqrt x\,\|u'\|_2$ pour $x \in [0, 1]$, puis que $\|u\|_2^2 \le \dfrac12 \|u'\|_2^2$.
Indice
Écris $u(x) = \int_0^x u'(t)\,dt$ et applique Cauchy–Schwarz sur $[0, x]$.
Solution
$|u(x)| \le \displaystyle\int_0^x |u'| \le \sqrt x \left(\int_0^x u'^2\right)^{1/2} \le \sqrt x\,\|u'\|_2$. En élevant au carré et en intégrant : $\|u\|_2^2 \le \|u'\|_2^2 \displaystyle\int_0^1 x\,dx = \frac12 \|u'\|_2^2$. Par densité, l'inégalité s'étend à $H^1_0(]0, 1[)$.
Exercice 2 (Une formulation faible). On considère $-u'' + u = f$ sur $]0, 1[$, avec $u(0) = u(1) = 0$ et $f \in L^2$. Écrire la formulation faible dans $H^1_0(]0, 1[)$ et justifier l'existence et l'unicité d'une solution faible.
Indice
Multiplie par $v \in H^1_0$, intègre par parties, puis reconnais un produit scalaire.
Solution
Pour $v \in H^1_0$, $\int -u''v = \int u'v'$ car $v(0) = v(1) = 0$. La formulation faible est : trouver $u \in H^1_0$ tel que $a(u, v) = \int u'v' + \int uv = \int fv$ pour tout $v \in H^1_0$. La forme $a$ est le produit scalaire de $H^1$ : elle est continue et coercive avec $a(v, v) = \|v\|_{H^1}^2$. La forme $v \mapsto \int fv$ est continue car $\left|\int fv\right| \le \|f\|_2\,\|v\|_{H^1}$. Lax–Milgram (ici Riesz) donne une unique solution.
Exercice 3 (Les fonctions H¹ sont continues en dimension un). Soit $u \in C^1([0, 1])$. Montrer que $|u(x) - u(y)| \le |x - y|^{1/2}\,\|u'\|_2$. Qu'en déduit-on pour les fonctions de $H^1(]0, 1[)$, en admettant la densité de $C^1([0, 1])$ ?
Indice
$u(x) - u(y) = \int_y^x u'(t)\,dt$.
Solution
Par Cauchy–Schwarz sur l'intervalle entre $y$ et $x$, $|u(x) - u(y)| \le |x - y|^{1/2} \left|\int_y^x u'^2\right|^{1/2} \le |x - y|^{1/2}\,\|u'\|_2$. Par densité, toute fonction de $H^1(]0, 1[)$ admet un représentant continu, et même höldérien d'exposant $\dfrac12$. Cela donne un sens à $u(0)$ et $u(1)$, donc aux conditions au bord.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (La constante optimale de Poincaré). Pour $u \in H^1_0(]0, 1[)$, on admet le développement $u = \sum_{n \ge 1} b_n \sin(n\pi x)$, avec $\int_0^1 u^2 = \dfrac12 \sum b_n^2$ et $\int_0^1 u'^2 = \dfrac12 \sum n^2 \pi^2 b_n^2$. Montrer que $\int_0^1 u^2 \le \dfrac{1}{\pi^2} \int_0^1 u'^2$, et que la constante est optimale.
Indice
Compare terme à terme : $n^2 \pi^2 \ge \pi^2$ pour $n \ge 1$.
Solution
$\int u'^2 = \dfrac12 \sum n^2 \pi^2 b_n^2 \ge \pi^2 \cdot \dfrac12 \sum b_n^2 = \pi^2 \int u^2$. Pour $u(x) = \sin(\pi x)$, seul $b_1 = 1$ est non nul et l'égalité a lieu : $\dfrac{1}{\pi^2}$ est la meilleure constante. Elle est meilleure que la constante $\dfrac12$ obtenue par Cauchy–Schwarz, car $\dfrac{1}{\pi^2} \simeq 0{,}101$.
Exercice 2 (Une fonction H¹ non bornée en dimension deux). Dans le disque $D = \{x \in \R^2 : |x| < 1/2\}$, on pose $u(x) = \left(\ln\frac{1}{|x|}\right)^\alpha$ avec $0 < \alpha < \dfrac12$. En admettant que le gradient faible coïncide avec le gradient classique hors de l'origine, montrer que $u \in H^1(D)$ alors que $u$ n'est pas bornée.
Indice
Avec $r = |x|$, $|\nabla u| = \alpha \left(\ln\frac1r\right)^{\alpha - 1} \frac1r$. Passe en coordonnées polaires puis pose $s = \ln(1/r)$.
Solution
$u \to +\infty$ quand $x \to 0$ : $u$ n'est pas bornée. En polaires, $\displaystyle\int_D |\nabla u|^2 = 2\pi \alpha^2 \int_0^{1/2} \left(\ln\frac1r\right)^{2\alpha - 2} \frac{dr}{r} = 2\pi\alpha^2 \int_{\ln 2}^{+\infty} s^{2\alpha - 2}\,ds$, finie car $2\alpha - 2 < -1$. De même $\int_D u^2 = 2\pi \int_0^{1/2} (\ln(1/r))^{2\alpha}\,r\,dr < \infty$. Donc $u \in H^1(D)$ : en dimension $2$, $H^1$ ne s'injecte pas dans $L^\infty$.
Exercice 3 (Lax–Milgram avec un terme de transport). Sur $H^1_0(]0, 1[)$, avec des constantes $b \in \R$ et $c \ge 0$, on pose $a(u, v) = \int u'v' + b\int u'v + c\int uv$. Montrer que $a$ est continue et coercive.
Indice
Pour $u \in H^1_0$ régulière, $\int u'u = \dfrac12 \int (u^2)' = 0$. Utilise ensuite l'inégalité de Poincaré.
Solution
Continuité : chaque terme est majoré par une constante fois $\|u\|_{H^1}\,\|v\|_{H^1}$, par Cauchy–Schwarz. Coercivité : $\int u'u = \dfrac12\left[u^2\right]_0^1 = 0$, d'abord pour $u$ régulière nulle au bord, puis par densité. Donc $a(u, u) = \int u'^2 + c\int u^2 \ge \int u'^2$. Avec Poincaré, $\int u^2 \le C \int u'^2$, d'où $\|u\|_{H^1}^2 \le (1 + C) \int u'^2 \le (1 + C)\,a(u, u)$. Le transport ne détruit pas la coercivité.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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