Une EDP relie une fonction de plusieurs variables à ses dérivées partielles. Trois équations organisent la théorie :
Chaleur (diffusion) : $\partial_t u = \kappa \, \Delta u$
Ondes (propagation) : $\partial_{tt} u = c^2 \, \Delta u$
Laplace et Poisson (équilibre) : $-\Delta u = f$
Remarque 1.Stabilité. Le schéma explicite $u_j^{n+1} = u_j^n + r\,\big(u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n\big)$, avec $r = \kappa \, \Delta t / \Delta x^2$, n'est stable que si $r \le \tfrac12$. Pousse le curseur au-delà dans la figure pour voir l'instabilité apparaître.
Formulation variationnelle
Définition 2 (Formulation faible du problème de Dirichlet). Pour $-\Delta u = f$ dans $\Omega$, $u = 0$ sur $\partial\Omega$, avec $f \in L^2(\Omega)$ : on cherche $u \in H^1_0(\Omega)$ tel que $$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx = \int_\Omega f \, v \, dx \qquad \forall v \in H^1_0(\Omega).$$
Théorème 3 (Existence et unicité). Si $\Omega$ est un ouvert borné, le problème faible admet une unique solution $u \in H^1_0(\Omega)$.
Preuve
La forme $a(u, v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v$ est continue sur $H^1_0(\Omega)$, et coercive grâce à l'inégalité de Poincaré : $$a(v, v) = \|\nabla v\|_2^2 \ge \frac{1}{1 + C_\Omega^2} \, \|v\|_{H^1}^2.$$ La forme $\ell(v) = \int_\Omega f v$ est continue. Le théorème de Lax–Milgram conclut.
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Vérifie ta compréhension. Le schéma explicite pour la chaleur est stable lorsque…
$r = \kappa \Delta t / \Delta x^2 \le \tfrac12$
$\Delta t \le \Delta x$
toujours, quel que soit le pas de temps
Réponse
Bonne réponse : A.
La condition fait intervenir $\Delta x^2$ : diviser le pas d'espace par 2 oblige à diviser le pas de temps par 4.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (Une solution de l’équation de la chaleur). Vérifier que $u(t, x) = e^{-\pi^2 t}\sin(\pi x)$ est solution de $\partial_t u = \partial_{xx} u$ sur $]0, +\infty[ \times ]0, 1[$, avec $u(t, 0) = u(t, 1) = 0$.
Indice
Calcule séparément $\partial_t u$ et $\partial_{xx} u$.
Solution
$\partial_t u = -\pi^2 e^{-\pi^2 t}\sin(\pi x)$ et $\partial_{xx} u = -\pi^2 e^{-\pi^2 t}\sin(\pi x)$ : les deux coïncident. Comme $\sin 0 = \sin \pi = 0$, les conditions au bord sont vérifiées. La température décroît exponentiellement vers $0$.
Exercice 2 (L’équation de transport). Soit $u_0$ de classe $C^1$ et $c \in \R$. Montrer que $u(t, x) = u_0(x - ct)$ est solution de $\partial_t u + c\,\partial_x u = 0$ avec $u(0, x) = u_0(x)$. Interpréter.
Indice
Dérive la composée par rapport à $t$ et par rapport à $x$.
Solution
$\partial_t u = -c\,u_0'(x - ct)$ et $\partial_x u = u_0'(x - ct)$, donc $\partial_t u + c\,\partial_x u = 0$. À $t = 0$, $u = u_0$. Le profil initial est translaté à la vitesse $c$ sans se déformer : la solution est constante le long des droites $x - ct = \text{constante}$.
Exercice 3 (Des fonctions harmoniques). Vérifier que $u(x, y) = x^2 - y^2$ et $v(x, y) = e^x\cos y$ sont harmoniques sur $\R^2$, c'est-à-dire que leur laplacien est nul.
Indice
$\Delta u = \partial_{xx} u + \partial_{yy} u$.
Solution
$\Delta u = 2 - 2 = 0$. Pour $v$ : $\partial_{xx} v = e^x\cos y$ et $\partial_{yy} v = -e^x\cos y$, donc $\Delta v = 0$. Ce sont les parties réelles de $z^2$ et de $e^z$ : la partie réelle d'une fonction holomorphe est harmonique.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (La formule de d’Alembert). Soit $f$ de classe $C^2$ sur $\R$. Vérifier que $u(t, x) = \dfrac12\left(f(x + ct) + f(x - ct)\right)$ résout $\partial_{tt} u = c^2\,\partial_{xx} u$ avec $u(0, x) = f(x)$ et $\partial_t u(0, x) = 0$.
Indice
Dérive deux fois chaque terme ; chaque dérivation en $t$ fait apparaître un facteur $\pm c$.
Solution
$\partial_{tt} u = \dfrac{c^2}{2}\left(f''(x + ct) + f''(x - ct)\right) = c^2\,\partial_{xx} u$. À $t = 0$, $u = f$, et $\partial_t u = \dfrac c2\left(f'(x + ct) - f'(x - ct)\right)$ s'annule en $t = 0$. Le profil initial se sépare en deux ondes de même forme, de demi-hauteur, qui partent à gauche et à droite à la vitesse $c$.
Exercice 2 (Séparation des variables). Résoudre $\partial_t u = \partial_{xx} u$ sur $]0, \pi[$ avec $u(t, 0) = u(t, \pi) = 0$ et $u(0, x) = 3\sin x - \sin 4x$.
Indice
$e^{-n^2 t}\sin(nx)$ est solution pour tout entier $n \ge 1$ ; l'équation est linéaire.
Solution
Par linéarité, $u(t, x) = 3e^{-t}\sin x - e^{-16t}\sin 4x$ vérifie l'équation, les conditions au bord et la condition initiale. Le mode $\sin 4x$ décroît seize fois plus vite que $\sin x$ : la chaleur lisse d'abord les oscillations rapides.
Exercice 3 (Une condition de Neumann). Écrire la formulation faible de $-u'' + u = f$ sur $]0, 1[$ avec $u'(0) = u'(1) = 0$, et dire dans quel espace on cherche $u$.
Indice
Multiplie par $v \in H^1(]0, 1[)$ sans imposer $v$ nulle au bord, puis intègre par parties.
Solution
$\int_0^1 -u''v = \int_0^1 u'v' - [u'v]_0^1 = \int_0^1 u'v'$, car $u'(0) = u'(1) = 0$. On cherche $u \in H^1(]0, 1[)$ tel que $\int u'v' + \int uv = \int fv$ pour tout $v \in H^1(]0, 1[)$. La condition de Neumann n'est pas imposée dans l'espace : elle est contenue dans la formulation (condition « naturelle »). Lax–Milgram s'applique comme pour Dirichlet, avec le produit scalaire de $H^1$.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (La décroissance de l’énergie). Soit $u$ une solution régulière de $\partial_t u = \partial_{xx} u$ sur $]0, 1[$ avec $u = 0$ au bord, et $E(t) = \int_0^1 u(t, x)^2\,dx$. Montrer que $E'(t) = -2\int_0^1 (\partial_x u)^2\,dx$, puis que $E(t) \le E(0)\,e^{-2\pi^2 t}$ grâce à l'inégalité de Poincaré de constante $\dfrac{1}{\pi^2}$.
Indice
Dérive sous l'intégrale, remplace $\partial_t u$ par $\partial_{xx} u$ et intègre par parties.
Solution
$E'(t) = 2\int u\,\partial_t u = 2\int u\,\partial_{xx} u = 2[u\,\partial_x u]_0^1 - 2\int (\partial_x u)^2 = -2\int (\partial_x u)^2$. Poincaré donne $\int (\partial_x u)^2 \ge \pi^2 \int u^2$, donc $E' \le -2\pi^2 E$. Par Grönwall, $E(t) \le E(0)\,e^{-2\pi^2 t}$ : l'énergie décroît exponentiellement.
Exercice 2 (Un principe du maximum). Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\R^n$ et $u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar\Omega)$ avec $\Delta u > 0$ dans $\Omega$. Montrer que $u$ n'atteint pas son maximum dans $\Omega$. En déduire que si $\Delta u \ge 0$, alors $\max_{\bar\Omega} u = \max_{\partial\Omega} u$.
Indice
En un maximum intérieur, chaque dérivée seconde $\partial_{ii} u$ est négative ou nulle. Pour le cas $\Delta u \ge 0$, considère $u + \varepsilon |x|^2$.
Solution
En un maximum intérieur $x_0$, la fonction $t \mapsto u(x_0 + t e_i)$ a un maximum en $0$, donc $\partial_{ii} u(x_0) \le 0$ et $\Delta u(x_0) \le 0$ : contradiction. Si $\Delta u \ge 0$, $u_\varepsilon = u + \varepsilon|x|^2$ vérifie $\Delta u_\varepsilon = \Delta u + 2n\varepsilon > 0$ : son maximum sur le compact $\bar\Omega$ est atteint au bord. Avec $R = \max_{\bar\Omega} |x|$, on obtient $\max_{\bar\Omega} u \le \max_{\bar\Omega} u_\varepsilon \le \max_{\partial\Omega} u + \varepsilon R^2$, puis on fait $\varepsilon \to 0$.
Exercice 3 (Conservation de l’énergie des ondes). Soit $u$ une solution régulière de $\partial_{tt} u = \partial_{xx} u$ sur $]0, 1[$ avec $u(t, 0) = u(t, 1) = 0$. Montrer que $E(t) = \dfrac12 \int_0^1 \left((\partial_t u)^2 + (\partial_x u)^2\right) dx$ est constante.
Indice
Dérive $E$, puis intègre par parties le terme $\int \partial_x u\,\partial_{xt} u$. Que vaut $\partial_t u$ au bord ?
Solution
$E'(t) = \int \partial_t u\,\partial_{tt} u + \int \partial_x u\,\partial_{xt} u$. Par parties, $\int \partial_x u\,\partial_{xt} u = [\partial_x u\,\partial_t u]_0^1 - \int \partial_{xx} u\,\partial_t u$. Le terme de bord est nul car $u = 0$ au bord pour tout $t$, donc $\partial_t u = 0$ au bord. Il reste $E'(t) = \int \partial_t u\,(\partial_{tt} u - \partial_{xx} u) = 0$. Contrairement à la chaleur, l'équation des ondes conserve l'énergie.
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Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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