Une équation différentielle stochastique ajoute à une EDO un bruit aléatoire continu. On écrit $dX_t = b(t, X_t) \, dt + \sigma(t, X_t) \, dW_t$, raccourci pour l'équation intégrale $$X_t = X_0 + \int_0^t b(s, X_s) \, ds + \int_0^t \sigma(s, X_s) \, dW_s,$$ où la seconde intégrale est une intégrale d'Itô : une limite de sommes $\sum \sigma(t_i, X_{t_i}) \big( W_{t_{i+1}} - W_{t_i} \big)$ évaluées au point gauche.
Théorème 1 (Formule d'Itô). Si $dX_t = b_t \, dt + \sigma_t \, dW_t$ et $f \in C^{1,2}$, alors $$df(t, X_t) = \partial_t f \, dt + \partial_x f \, dX_t + \tfrac12 \, \partial_{xx} f \, \sigma_t^2 \, dt.$$ Le dernier terme n'existe pas en calcul classique : il vient de $(dW_t)^2 = dt$.
Preuve (idée)
On écrit un développement de Taylor à l'ordre 2 sur une subdivision de $[0, t]$, puis on passe à la limite. Les termes en $(\Delta W)^2$ convergent vers $\int \sigma^2 \, dt$ (variation quadratique du brownien) ; les termes d'ordre supérieur tendent vers $0$.
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Exemple 2 (Black–Scholes). Pour $dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t$, la formule d'Itô appliquée à $f(x) = \ln x$ donne $d(\ln S_t) = \big( \mu - \tfrac{\sigma^2}{2} \big) dt + \sigma \, dW_t$, d'où $$S_t = S_0 \exp\Big( \big( \mu - \tfrac{\sigma^2}{2} \big) t + \sigma W_t \Big), \qquad \E[S_t] = S_0 \, e^{\mu t}.$$
Vérifie ta compréhension. Par la formule d'Itô, $d(W_t^2) = $ ?
$2 W_t \, dW_t$
$2 W_t \, dW_t + dt$
$dt$
Réponse
Bonne réponse : B.
Avec $f(x) = x^2$ : $f' = 2x$ et $f'' = 2$, donc $d(W_t^2) = 2 W_t \, dW_t + \tfrac12 \cdot 2 \, dt$.
Exercice 3 (Une martingale). Montrer que $M_t = W_t^2 - t$ est une martingale.
Indice
Applique la formule d'Itô à $W_t^2$ et regarde ce qui reste dans $dM_t$.
Solution
$d(W_t^2) = 2 W_t \, dW_t + dt$, donc $dM_t = 2 W_t \, dW_t$. Comme $\E\int_0^t W_s^2 \, ds < \infty$, $M$ est une intégrale d'Itô de carré intégrable : c'est une martingale.
Remarque 4. L'EDS d'Ornstein–Uhlenbeck $dX_t = -\theta X_t \, dt + \sigma \, dW_t$ est la version bruitée de l'EDO $x' = -\theta x$. Sa solution est $X_t = X_0 e^{-\theta t} + \sigma \int_0^t e^{-\theta (t - s)} \, dW_s$.
Exercices corrigés
Chaque exercice propose un indice et une solution détaillée : essaie d'abord, puis compare.
Tome I · Amateur
Découvrir les méthodes et appliquer les définitions et les résultats du cours.
Exercice 1 (L’intégrale de W contre W). Appliquer la formule d'Itô à $f(x) = x^2$ pour montrer que $\displaystyle\int_0^t W_s\,dW_s = \frac{W_t^2 - t}{2}$.
$d(W_t^2) = 2W_t\,dW_t + dt$. En intégrant de $0$ à $t$ : $W_t^2 = 2\displaystyle\int_0^t W_s\,dW_s + t$. Le terme $-\dfrac t2$ est la correction d'Itô : le calcul différentiel classique donnerait $\dfrac{W_t^2}{2}$.
Exercice 2 (L’isométrie d’Itô). Calculer $E\left[\left(\displaystyle\int_0^t W_s\,dW_s\right)^2\right]$ par l'isométrie d'Itô, puis vérifier le résultat avec la formule de l'exercice précédent. On rappelle que $\operatorname{Var}(W_t^2) = 2t^2$.
Par l'isométrie, $\displaystyle\int_0^t E[W_s^2]\,ds = \int_0^t s\,ds = \frac{t^2}{2}$. Vérification : $\dfrac{W_t^2 - t}{2}$ est centrée et sa variance vaut $\dfrac14\operatorname{Var}(W_t^2) = \dfrac{2t^2}{4} = \dfrac{t^2}{2}$.
Exercice 3 (Une intégrale déterministe). On admet qu'une intégrale d'Itô $\int_0^t g(s)\,dW_s$ d'une fonction déterministe $g$ de carré intégrable suit une loi normale centrée. Déterminer la loi de $X_t = \displaystyle\int_0^t s\,dW_s$.
Indice
Il suffit de calculer la variance par l'isométrie d'Itô.
Solution
$X_t$ est gaussienne centrée de variance $\displaystyle\int_0^t s^2\,ds = \frac{t^3}{3}$ : $X_t$ suit la loi $\mathcal N\left(0, \dfrac{t^3}{3}\right)$.
Tome II · Entraînement
Combiner plusieurs notions et rédiger une démarche complète.
Exercice 1 (Le brownien géométrique). Résoudre $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$ avec $S_0 > 0$, en appliquant la formule d'Itô à $\ln S_t$. Calculer ensuite $E[S_t]$.
$d(\ln S_t) = \mu\,dt + \sigma\,dW_t - \dfrac{\sigma^2}{2}\,dt$, donc $S_t = S_0\exp\left(\left(\mu - \dfrac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t\right)$. Comme $E[e^{\sigma W_t}] = e^{\sigma^2 t/2}$, on obtient $E[S_t] = S_0\,e^{\mu t}$ : en moyenne, le bruit ne change pas la croissance.
Exercice 2 (Le processus d’Ornstein–Uhlenbeck). Résoudre $dX_t = -\theta X_t\,dt + \sigma\,dW_t$ avec $\theta > 0$ et $X_0 = x_0$, puis calculer $E[X_t]$ et $\operatorname{Var}(X_t)$.
Indice
Applique la formule d'Itô à $e^{\theta t} X_t$.
Solution
$d(e^{\theta t}X_t) = \theta e^{\theta t}X_t\,dt + e^{\theta t}\,dX_t = \sigma e^{\theta t}\,dW_t$, donc $X_t = x_0 e^{-\theta t} + \sigma\displaystyle\int_0^t e^{-\theta(t - s)}\,dW_s$. Ainsi $E[X_t] = x_0 e^{-\theta t}$ et, par l'isométrie, $\operatorname{Var}(X_t) = \sigma^2\displaystyle\int_0^t e^{-2\theta(t - s)}\,ds = \frac{\sigma^2}{2\theta}\left(1 - e^{-2\theta t}\right)$. Le processus revient vers $0$ et sa variance se stabilise à $\dfrac{\sigma^2}{2\theta}$.
Exercice 3 (L’exponentielle stochastique). Montrer que $X_t = \exp\left(W_t - \dfrac t2\right)$ vérifie $dX_t = X_t\,dW_t$ avec $X_0 = 1$.
Indice
Applique la formule d'Itô à $f(t, x) = e^{x - t/2}$ : $df = \partial_t f\,dt + \partial_x f\,dW_t + \dfrac12 \partial_{xx} f\,dt$.
Solution
$\partial_t f = -\dfrac12 f$, $\partial_x f = f$ et $\partial_{xx} f = f$. Donc $dX_t = -\dfrac12 X_t\,dt + X_t\,dW_t + \dfrac12 X_t\,dt = X_t\,dW_t$, et $X_0 = 1$. La solution de $dX = X\,dW$ n'est pas $e^{W_t}$ : la correction $-\dfrac t2$ est indispensable.
Tome III · Perfectionnement
Approfondir le cours avec des problèmes de synthèse et des justifications complètes.
Exercice 1 (Une intégration par parties stochastique). Montrer que $\displaystyle\int_0^t s\,dW_s = t\,W_t - \int_0^t W_s\,ds$.
Indice
Calcule $d(t\,W_t)$ avec la formule d'Itô : le terme croisé est nul car $t$ est déterministe.
Solution
$d(t\,W_t) = W_t\,dt + t\,dW_t$, sans terme d'Itô supplémentaire puisque $t$ est à variation finie. En intégrant : $t\,W_t = \displaystyle\int_0^t W_s\,ds + \int_0^t s\,dW_s$. Le membre de droite de l'énoncé est une intégrale de Riemann trajectoire par trajectoire.
Exercice 2 (Le moment d’ordre quatre). À l'aide de la formule d'Itô appliquée à $W_t^4$, calculer $E[W_t^4]$. On admet que l'intégrale d'Itô obtenue est d'espérance nulle.
Indice
$d(W_t^4) = 4W_t^3\,dW_t + 6W_t^2\,dt$.
Solution
En prenant l'espérance, $E[W_t^4] = 6\displaystyle\int_0^t E[W_s^2]\,ds = 6\int_0^t s\,ds = 3t^2$. On retrouve le moment d'ordre $4$ d'une gaussienne de variance $t$ : $3t^2$.
Exercice 3 (Un aperçu de Feynman–Kac). Soit $T > 0$ et $u(t, x) = E[g(x + W_{T - t})]$ pour $t \le T$. Avec $g(x) = x^2$, calculer explicitement $u$ et vérifier que $\partial_t u + \dfrac12\,\partial_{xx} u = 0$ avec $u(T, x) = g(x)$.
Indice
$E[(x + W_{T - t})^2] = x^2 + E[W_{T - t}^2]$.
Solution
$u(t, x) = x^2 + (T - t)$. Alors $\partial_t u = -1$ et $\partial_{xx} u = 2$, donc $\partial_t u + \dfrac12\,\partial_{xx} u = 0$, et $u(T, x) = x^2$. C'est un cas de la formule de Feynman–Kac : une espérance de brownien résout une équation de la chaleur rétrograde.
Continue avec ton tuteur
Dans Mathventure, tu rédiges tes réponses et le tuteur les corrige en t'expliquant tes erreurs. Les exercices suivants s'adaptent à ton niveau.
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